Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 431

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 431

lim⁡n→∞12+32+…+(2n−1)222+42+…+(2n)2.\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2}{2^2+4^2+\ldots+(2n)^2}.

Решение

Используем формулу суммы квадратов∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6.\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6. Для суммы квадратов четных чисел имеем 22+42+…+(2n)2=4∑k=1nk2=2n(n+1)(2n+1)3.2^2+4^2+\ldots+(2n)^2
=
4\sum_{k=1}^{n}k^2
=
\frac{2n(n+1)(2n+1)}3.
Тогда 12+32+…+(2n−1)222+42+…+(2n)2=4n2−12(n+1)(2n+1)=2n−12n+2.\frac{1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2}
{2^2+4^2+\ldots+(2n)^2}
=
\frac{4n^2-1}{2(n+1)(2n+1)}
=
\frac{2n-1}{2n+2}. Разделив числитель и знаменатель на nn, получаем 2−1n2+2n→1.\frac{2-\frac1n}{2+\frac2n}\to1.

Проверка

lim⁡n→∞12+32+…+(2n−1)222+42+…+(2n)2=1.\lim_{n\to\infty}
\frac{1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2}
{2^2+4^2+\ldots+(2n)^2}
=1
.