Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 431

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 431

lim⁡n→∞12+32+…+(2n−1)222+42+…+(2n)2.\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2}{2^2+4^2+\ldots+(2n)^2}.

Решение

Идея

Используем формулу суммы квадратов∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6.\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6. Для суммы квадратов четных чисел имеем 22+42+…+(2n)2=4∑k=1nk2=2n(n+1)(2n+1)3.2^2+4^2+\ldots+(2n)^2
=
4\sum_{k=1}^{n}k^2
=
\frac{2n(n+1)(2n+1)}3.
Сумму квадратов нечетных чисел получим, вычитая сумму квадратов четных чисел из суммы квадратов всех чисел от 11 до 2n2n: 12+32+…+(2n−1)2=∑k=12nk2−(22+42+…+(2n)2).1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2
=
\sum_{k=1}^{2n}k^2-\left(2^2+4^2+\ldots+(2n)^2\right). Отсюда 12+32+…+(2n−1)2=2n(2n+1)(4n+1)6−2n(n+1)(2n+1)3=n(4n2−1)3.1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2
=
\frac{2n(2n+1)(4n+1)}6
-
\frac{2n(n+1)(2n+1)}3
=
\frac{n(4n^2-1)}3.Тогда 12+32+…+(2n−1)222+42+…+(2n)2=4n2−12(n+1)(2n+1)=2n−12n+2.\frac{1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2}
{2^2+4^2+\ldots+(2n)^2}
=
\frac{4n^2-1}{2(n+1)(2n+1)}
=
\frac{2n-1}{2n+2}. Разделив числитель и знаменатель на nn, получаем 2−1n2+2n→1.\frac{2-\frac1n}{2+\frac2n}\to1.

Проверка

lim⁡n→∞12+32+…+(2n−1)222+42+…+(2n)2=1.\boxed{
\lim_{n\to\infty}
\frac{1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2}
{2^2+4^2+\ldots+(2n)^2}
=1
}.
Демидович № 431 — решение | Высшая математика — Профиматика