Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 460

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 460

lim⁡x→+0(1x+1x+1x−1x−1x+1x).\lim_{x\to+0}\left(\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1x}}}-\sqrt{\frac1x-\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1x}}}\right).

Решение

Идея

Так как x→+0x\to+0, имеем x>0x>0. Сначала преобразуем внутренний корень:
1x+1x=1x+1x=1x1+x.\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1x}}
=
\sqrt{\frac1x+\frac1{\sqrt{x}}}
=
\frac1{\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{x}}. Тогда 1x±1x+1x=1x(1±x1+x).\frac1x\pm\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1x}}
=
\frac1x
\left(
1\pm\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}
\right). Исходное выражение равно 1x[1+x1+x−1−x1+x].\frac1{\sqrt{x}}
\left[
\sqrt{1+\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}}
-
\sqrt{1-\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}}
\right]. Умножим разность корней на сопряженное выражение: 1x⋅2x1+x1+x1+x+1−x1+x.\frac1{\sqrt{x}}
\cdot
\frac{
2\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}
}{
\sqrt{1+\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}}
+
\sqrt{1-\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}}
}. Сокращая x\sqrt{x}, получаем 21+x1+x1+x+1−x1+x.\frac{
2\sqrt{1+\sqrt{x}}
}{
\sqrt{1+\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}}
+
\sqrt{1-\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}}
}. При x→+0x\to+0 числитель стремится к 22, а знаменатель – к 1+1=21+1=2. Поэтому lim⁡x→+0(1x+1x+1x−1x−1x+1x)=1.\boxed{
\lim_{x\to+0}
\left(
\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1x}}}
-
\sqrt{\frac1x-\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1x}}}
\right)
=1
}.
Демидович № 460 — решение