Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 465

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 465

lim⁡x→+∞[(x+a1)⋯(x+an)n−x].\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)}-x\right].

Решение

Идея

При достаточно больших xx все числа x+a1,…,x+anx+a_1,\ldots,x+a_n положительны. Раскроем произведение: (x+a1)⋯(x+an)=xn+(a1+⋯+an)xn−1+(∑i<jaiaj)xn−2+⋯+a1⋯an.(x+a_1)\cdots(x+a_n)
=
x^n+(a_1+\cdots+a_n)x^{n-1}
+\left(\sum_{i<j}a_i a_j\right)x^{n-2}
+\cdots+a_1\cdots a_n.
Воспользуемся формулой an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+⋯+bn−1),a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}), откуда a−b=an−bnan−1+an−2b+⋯+bn−1.a-b= \frac{a^n-b^n} {a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}}. Полагая a=(x+a1)⋯(x+an)n,b=x,a=\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)},\quad b=x, получаем(x+a1)⋯(x+an)n−x=(x+a1)⋯(x+an)−xn((x+a1)⋯(x+an)n)n−1+x((x+a1)⋯(x+an)n)n−2+⋯+xn−1.\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)}-x
=
\frac{
(x+a_1)\cdots(x+a_n)-x^n
}{
\begin{aligned}
&\left(\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)}\right)^{n-1}\\
&\quad
+x\left(\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)}\right)^{n-2}
+\cdots+x^{n-1}
\end{aligned}
}.Разделим числитель и знаменатель на xn−1x^{n-1}. Для числителя имеем (x+a1)⋯(x+an)−xnxn−1=a1+⋯+an+∑i<jaiajx+⋯+a1⋯anxn−1→a1+⋯+an.\frac{(x+a_1)\cdots(x+a_n)-x^n}{x^{n-1}}
=
a_1+\cdots+a_n
+\frac{\sum_{i<j}a_i a_j}{x}
+\cdots+\frac{a_1\cdots a_n}{x^{n-1}}
\to a_1+\cdots+a_n.Кроме того, (x+a1)⋯(x+an)nx=(1+a1x)⋯(1+anx)n→1.\frac{\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)}}{x}
=
\sqrt[n]{\left(1+\frac{a_1}{x}\right)\cdots
\left(1+\frac{a_n}{x}\right)}
\to1. После деления знаменателя на xn−1x^{n-1} получаем ((x+a1)⋯(x+an)nx)n−1+((x+a1)⋯(x+an)nx)n−2+⋯+(x+a1)⋯(x+an)nx+1→n.\left(
\frac{\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)}}{x}
\right)^{n-1}
+
\left(
\frac{\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)}}{x}
\right)^{n-2}
+\cdots+
\frac{\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)}}{x}
+1
\to n.

Проверка

lim⁡x→+∞[(x+a1)⋯(x+an)n−x]=a1+⋯+ann.\boxed{
\lim_{x\to+\infty}
\left[
\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)}-x
\right]
=
\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}
}.
Демидович № 465 — решение