Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1436

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти экстремумы функции:

y=x\sqrt[3]{x-1}

Решение

Область определения функции

x \in \mathbb{R}

.
Найдём первую производную

y' = 1 \cdot \sqrt[3]{x-1} + x \cdot \frac{1}{3}(x-1)^{-\frac{2}{3}}

Приведём к общему знаменателю

y' = \frac{3(x-1) + x}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}} = \frac{4x-3}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}

Критическая точка, где производная равна нулю

x = \frac{3}{4}

Точка, где производная не существует

x = 1

Определим знак производной на полученных интервалах. Знаменатель строго положителен для всех

x\ne1

, поэтому знак производной зависит только от числителя.
При

x < \frac{3}{4}

числитель отрицателен,

y' < 0

При

\frac{3}{4} < x < 1

числитель положителен,

y' > 0

При

x > 1

числитель положителен,

y' > 0

В точке

x = \frac{3}{4}

производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума

y_{\min} = y\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4}\sqrt[3]{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}\sqrt[3]{-\frac{1}{4}} = -\frac{3}{4\sqrt[3]{4}} = -\frac{3\sqrt[3]{2}}{8}

В точке

x = 1

производная знак не меняет, экстремума нет.