Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1460

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1460

Функциюf(x)=x2f(x)=x^2на сегменте [x1,x2][x_1,x_2] приближённо заменить линейной функциейg(x)=(x1+x2)x+bg(x)=(x_1+x_2)x+bтак, чтобы абсолютное отклонение функций f(x)f(x) и g(x)g(x) (см. предыдущую задачу) было наименьшим, и определить это наименьшее абсолютное отклонение.

Решение

Идея

Найдём разность между заданной функцией f(x)f(x) и линейным приближением g(x)g(x)
h(x)=f(x)−g(x)=x2−(x1+x2)x−bh(x) = f(x) - g(x) = x^2 - (x_1 + x_2)x - bГрафиком функции h(x)h(x) является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины параболы находится по формулеx0=x1+x22x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}Точка x0x_0 является серединой сегмента [x1,x2][x_1, x_2], поэтому она принадлежит ему.
Наименьшее значение функции h(x)h(x) на заданном сегменте достигается в вершине параболыmin⁡[x1,x2]h(x)=h(x0)=(x1+x22)2−(x1+x2)x1+x22−b=−(x1+x2)24−b\min_{[x_1, x_2]} h(x) = h(x_0) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right)^2 - (x_1 + x_2)\frac{x_1 + x_2}{2} - b = -\frac{(x_1 + x_2)^2}{4} - bНаибольшее значение парабола достигает на концах сегмента, так как они равноудалены от вершины. Вычислим это значениеmax⁡[x1,x2]h(x)=h(x1)=x12−(x1+x2)x1−b=−x1x2−b\max_{[x_1, x_2]} h(x) = h(x_1) = x_1^2 - (x_1 + x_2)x_1 - b = -x_1 x_2 - bНаименьшее абсолютное отклонение Δ=sup⁡∣h(x)∣\Delta = \sup |h(x)| достигается, когда максимальное и минимальное значения функции h(x)h(x) равны по модулю и противоположны по знаку (свойство чебышёвского альтернанса)h(x1)=−h(x0)h(x_1) = -h(x_0)−x1x2−b=(x1+x2)24+b-x_1 x_2 - b = \frac{(x_1 + x_2)^2}{4} + bРешим это уравнение относительно свободного члена bb2b=−x1x2−x12+2x1x2+x224=−4x1x2−x12−2x1x2−x224=−x12+6x1x2+x2242b = -x_1 x_2 - \frac{x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2}{4} = \frac{-4x_1 x_2 - x_1^2 - 2x_1 x_2 - x_2^2}{4} = -\frac{x_1^2 + 6x_1 x_2 + x_2^2}{4}b=−x12+6x1x2+x228b = -\frac{x_1^2 + 6x_1 x_2 + x_2^2}{8}Теперь вычислим само наименьшее абсолютное отклонение Δ\DeltaΔ=∣−x1x2−b∣=∣−x1x2+x12+6x1x2+x228∣=∣−8x1x2+x12+6x1x2+x228∣=x12−2x1x2+x228\Delta = |-x_1 x_2 - b| = \left| -x_1 x_2 + \frac{x_1^2 + 6x_1 x_2 + x_2^2}{8} \right| = \left| \frac{-8x_1 x_2 + x_1^2 + 6x_1 x_2 + x_2^2}{8} \right| = \frac{x_1^2 - 2x_1 x_2 + x_2^2}{8}Свернув числитель по формуле квадрата разности, получаем окончательный ответΔ=(x2−x1)28\Delta = \frac{(x_2 - x_1)^2}{8}
Демидович № 1460 — решение | Высшая математика — Профиматика