Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1460

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Функцию

f(x)=x^2

на сегменте

[x_1,x_2]

приближённо заменить линейной функцией

g(x)=(x_1+x_2)x+b

так, чтобы абсолютное отклонение функций

f(x)

g(x)

(см. предыдущую задачу) было наименьшим, и определить это наименьшее абсолютное отклонение.

Решение

Найдём разность между заданной функцией

f(x)

и линейным приближением

g(x)

h(x) = f(x) - g(x) = x^2 - (x_1 + x_2)x - b

Графиком функции

h(x)

является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины параболы находится по формуле

x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}

Точка

x_0

является серединой сегмента

[x_1, x_2]

, поэтому она принадлежит ему.
Наименьшее значение функции

h(x)

на заданном сегменте достигается в вершине параболы

\min_{[x_1, x_2]} h(x) = h(x_0) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right)^2 - (x_1 + x_2)\frac{x_1 + x_2}{2} - b = -\frac{(x_1 + x_2)^2}{4} - b

Наибольшее значение парабола достигает на концах сегмента, так как они равноудалены от вершины. Вычислим это значение

\max_{[x_1, x_2]} h(x) = h(x_1) = x_1^2 - (x_1 + x_2)x_1 - b = -x_1 x_2 - b

Обозначим найденные наименьшее и наибольшее значения через

L

U

. Их разность не зависит от

b

U-L=\frac{(x_1+x_2)^2}4-x_1x_2=\frac{(x_2-x_1)^2}4.

Для любого выбора

b

неравенство треугольника даёт

\Delta=\max(|L|,|U|)\ge\frac{|L|+|U|}2\ge\frac{U-L}2=\frac{(x_2-x_1)^2}8.

Эта нижняя граница достигается, если

U=-L

, то есть если

h(x_1) = -h(x_0)

-x_1 x_2 - b = \frac{(x_1 + x_2)^2}{4} + b

Решим это уравнение относительно свободного члена

b

2b = -x_1 x_2 - \frac{x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2}{4} = \frac{-4x_1 x_2 - x_1^2 - 2x_1 x_2 - x_2^2}{4} = -\frac{x_1^2 + 6x_1 x_2 + x_2^2}{4}

b = -\frac{x_1^2 + 6x_1 x_2 + x_2^2}{8}

Теперь вычислим само наименьшее абсолютное отклонение

\Delta

\Delta = |-x_1 x_2 - b| = \left| -x_1 x_2 + \frac{x_1^2 + 6x_1 x_2 + x_2^2}{8} \right| = \left| \frac{-8x_1 x_2 + x_1^2 + 6x_1 x_2 + x_2^2}{8} \right| = \frac{x_1^2 - 2x_1 x_2 + x_2^2}{8}

Свернув числитель по формуле квадрата разности, получаем окончательный ответ

\Delta = \frac{(x_2 - x_1)^2}{8}