Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1459

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Абсолютным отклонением двух функций

f(x)

g(x)

на сегменте

[a,b]

называется число

\Delta=\sup_{a\le x\le b}|f(x)-g(x)|

Определить абсолютное отклонение функций

f(x)=x^2,\qquad g(x)=x^3

на сегменте

[0,1]

Решение

Идея

Рассмотрим функцию

h(x) = |f(x) - g(x)| = |x^2 - x^3|

на сегменте

[0, 1]

.
Так как при

x \in [0, 1]

выполняется неравенство

x^2 \ge x^3

, модуль можно опустить

h(x) = x^2 - x^3

Найдём наибольшее значение этой функции на заданном отрезке. Вычислим первую производную

h'(x) = 2x - 3x^2 = x(2 - 3x)

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек

x(2 - 3x) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{2}{3}

Обе точки принадлежат сегменту

[0, 1]

. Вычислим значения функции

h(x)

в критических точках и на правом конце отрезка

h(0) = 0

h\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{4}{9} - \frac{8}{27} = \frac{4}{27}

h(1) = 1^2 - 1^3 = 0

Сравнивая полученные значения, находим наибольшее отклонение

\Delta = \sup_{0 \le x \le 1} |x^2 - x^3| = \frac{4}{27}