Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1429

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти экстремумы функции:

y=x^3-6x^2+9x-4

Решение

Область определения функции

x \in \mathbb{R}

.
Найдём первую производную

y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)

Приравняем производную к нулю. Получим критические точки

x_1 = 1, \quad x_2 = 3

Найдём вторую производную

y'' = 6x - 12

Вычислим значения второй производной в критических точках.
В точке

x=1

имеем

y''(1) = -6 < 0

, следовательно, это точка максимума

y_{\max} = y(1) = 1 - 6 + 9 - 4 = 0

В точке

x=3

имеем

y''(3) = 6 > 0

, следовательно, это точка минимума

y_{\min} = y(3) = 27 - 54 + 27 - 4 = -4

Проверка

Оба экстремума локальные; кубический многочлен не ограничен на всей прямой ни сверху, ни снизу.