Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1429

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1429

y=x3−6x2+9x−4y=x^3-6x^2+9x-4

Решение

Идея

Область определения функции x∈Rx \in \mathbb{R}.
Найдём первую производную

Проверка

y′=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)Приравняем производную к нулю. Получим критические точкиx1=1,x2=3x_1 = 1, \quad x_2 = 3Найдём вторую производнуюy′′=6x−12y'' = 6x - 12Вычислим значения второй производной в критических точках.
В точке x=1x=1 имеем y′′(1)=−6<0y''(1) = -6 < 0, следовательно, это точка максимумаymax⁡=y(1)=1−6+9−4=0y_{\max} = y(1) = 1 - 6 + 9 - 4 = 0В точке x=3x=3 имеем y′′(3)=6>0y''(3) = 6 > 0, следовательно, это точка минимумаymin⁡=y(3)=27−54+27−4=−4y_{\min} = y(3) = 27 - 54 + 27 - 4 = -4
Демидович № 1429 — решение