Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1453

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) функции:

Задача 1453

f(x)=e−x2cos⁡x2f(x)=e^{-x^2}\cos x^2на интервале (−∞,+∞)(-\infty,+\infty).

Решение

Сделаем замену t=x2t = x^2. Так как x∈(−∞,+∞)x \in (-\infty, +\infty), переменная tt пробегает промежуток [0,+∞)[0, +\infty).
Рассмотрим функцию g(t)=e−tcos⁡tg(t) = e^{-t}\cos t для t≥0t \ge 0.
Найдём её производную:
g′(t)=−e−tcos⁡t−e−tsin⁡t=−e−t(cos⁡t+sin⁡t)g'(t) = -e^{-t}\cos t - e^{-t}\sin t = -e^{-t}(\cos t + \sin t)Найдём критические точки из условия g′(t)=0g'(t) = 0:cos⁡t+sin⁡t=0  ⟹  tg⁡t=−1  ⟹  tk=3π4+πk(k=0,1,2,… )\cos t + \sin t = 0 \implies \operatorname{tg} t = -1 \implies t_k = \frac{3\pi}{4} + \pi k \quad (k = 0, 1, 2, \dots)На промежутке [0,3π4)[0, \frac{3\pi}{4}) производная g′(t)<0g'(t) < 0, функция g(t)g(t) монотонно убывает от начального значения:g(0)=e0cos⁡0=1g(0) = e^0\cos 0 = 1до своего первого (и самого глубокого) локального минимума в точке t0=3π4t_0 = \frac{3\pi}{4}:g(3π4)=e−3π4cos⁡3π4=−22e−3π4g\left(\frac{3\pi}{4}\right) = e^{-\frac{3\pi}{4}}\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{3\pi}{4}}Далее функция совершает затухающие колебания, так как множитель e−te^{-t} стремится к нулю. Модули всех последующих экстремумов будут меньше.
Поскольку g(t)≤1g(t) \le 1 для всех t≥0t \ge 0, верхняя грань достигается в точке x=0x = 0:sup⁡(−∞,+∞)f(x)=1\sup_{(-\infty, +\infty)} f(x) = 1Наименьшее значение достигается в точках x=±3π4x = \pm\sqrt{\frac{3\pi}{4}}:inf⁡(−∞,+∞)f(x)=−22e−3π4\inf_{(-\infty, +\infty)} f(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{3\pi}{4}}

Проверка

Чтобы строго сравнить все локальные экстремумы, подставим tk=3π/4+πkt_k=3\pi/4+\pi k:g(tk)=(−1)k+12e−3π/4−πk.g(t_k)=\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt2}e^{-3\pi/4-\pi k}.Отрицательные минимумы соответствуют чётным k=2jk=2j. Их модули равны e−3π/4−2πj/2e^{-3\pi/4-2\pi j}/\sqrt2 и строго убывают с ростом jj. Между соседними стационарными точками функция монотонна, а её предел на бесконечности равен нулю. Поэтому никакое промежуточное значение не может быть меньше первого минимума. Верхняя оценка g(t)≤1g(t)\le1 следует из cos⁡t≤1\cos t\le1 и 0<e−t≤10<e^{-t}\le1.
Демидович № 1453 — решение | Высшая математика — Профиматика