Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1452

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) функции:

Задача 1452

f(x)=1+x21+x4f(x)=\frac{1+x^2}{1+x^4}на интервале (0,+∞)(0,+\infty).

Решение

Найдём первую производную функции:f′(x)=2x(1+x4)−(1+x2)4x3(1+x4)2=2x+2x5−4x3−4x5(1+x4)2=−2x(x4+2x2−1)(1+x4)2f'(x) = \frac{2x(1+x^4) - (1+x^2)4x^3}{(1+x^4)^2} = \frac{2x + 2x^5 - 4x^3 - 4x^5}{(1+x^4)^2} = \frac{-2x(x^4 + 2x^2 - 1)}{(1+x^4)^2}Приравняем числитель к нулю. Так как x>0x > 0, решим биквадратное уравнение x4+2x2−1=0x^4 + 2x^2 - 1 = 0:x2=−1+1−(−1)=2−1x^2 = -1 + \sqrt{1 - (-1)} = \sqrt{2} - 1Отрицательный корень x2=−1−2x^2 = -1 - \sqrt{2} отбрасываем. Получаем единственную критическую точку на заданном интервале:x0=2−1x_0 = \sqrt{\sqrt{2}-1}При 0<x<x00 < x < x_0 выражение x4+2x2−1<0x^4 + 2x^2 - 1 < 0, следовательно f′(x)>0f'(x) > 0.
При x>x0x > x_0 выражение x4+2x2−1>0x^4 + 2x^2 - 1 > 0, следовательно f′(x)<0f'(x) < 0.
В точке x0x_0 функция достигает своего наибольшего значения:sup⁡(0,+∞)f(x)=f(x0)=1+(2−1)1+(2−1)2=21+2−22+1=24−22\sup_{(0, +\infty)} f(x) = f(x_0) = \frac{1 + (\sqrt{2}-1)}{1 + (\sqrt{2}-1)^2} = \frac{\sqrt{2}}{1 + 2 - 2\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}}Упростим выражение:sup⁡(0,+∞)f(x)=222(2−1)=12(2−1)=2+12\sup_{(0, +\infty)} f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)} = \frac{1}{2(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}Вычислим пределы на концах интервала:lim⁡x→0+1+x21+x4=1\lim_{x \to 0+} \frac{1+x^2}{1+x^4} = 1lim⁡x→+∞1+x21+x4=0\lim_{x \to +\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} = 0Так как f(x)>0f(x) > 0 на интервале (0,+∞)(0, +\infty), нижняя грань равна нулю:inf⁡(0,+∞)f(x)=0\inf_{(0, +\infty)} f(x) = 0