Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1452

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

f(x)=\frac{1+x^2}{1+x^4}

на интервале

(0,+\infty)

Решение

Проверка

Найдём первую производную функции:

f'(x) = \frac{2x(1+x^4) - (1+x^2)4x^3}{(1+x^4)^2} = \frac{2x + 2x^5 - 4x^3 - 4x^5}{(1+x^4)^2} = \frac{-2x(x^4 + 2x^2 - 1)}{(1+x^4)^2}

Приравняем числитель к нулю. Так как

x > 0

, решим биквадратное уравнение

x^4 + 2x^2 - 1 = 0

x^2 = -1 + \sqrt{1 - (-1)} = \sqrt{2} - 1

Отрицательный корень

x^2 = -1 - \sqrt{2}

отбрасываем. Получаем единственную критическую точку на заданном интервале:

x_0 = \sqrt{\sqrt{2}-1}

При

0 < x < x_0

выражение

x^4 + 2x^2 - 1 < 0

, следовательно

f'(x) > 0

.
При

x > x_0

выражение

x^4 + 2x^2 - 1 > 0

, следовательно

f'(x) < 0

.
В точке

x_0

функция достигает своего наибольшего значения:

\sup_{(0, +\infty)} f(x) = f(x_0) = \frac{1 + (\sqrt{2}-1)}{1 + (\sqrt{2}-1)^2} = \frac{\sqrt{2}}{1 + 2 - 2\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}}

Упростим выражение:

\sup_{(0, +\infty)} f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)} = \frac{1}{2(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}

Вычислим пределы на концах интервала:

\lim_{x \to 0+} \frac{1+x^2}{1+x^4} = 1

\lim_{x \to +\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} = 0

Так как

f(x) > 0

на интервале

(0, +\infty)

, нижняя грань равна нулю:

\inf_{(0, +\infty)} f(x) = 0