Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1458

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1458

При каком выборе коэффициента qq многочленP(x)=x2+qP(x)=x^2+qнаименее отклоняется от нуля на сегменте [−1,1][-1,1], т. е.EP=sup⁡−1≤x≤1∣P(x)∣=min⁡E_P=\sup_{-1\le x\le1}|P(x)|=\min

Решение

Идея

Рассмотрим функцию P(x)=x2+qP(x) = x^2 + q. Это чётная функция, графиком которой является парабола с вершиной в точке x=0x = 0. На сегменте [−1,1][-1, 1] функция x2x^2 монотонно возрастает от 00 до 11 при x∈[0,1]x \in [0, 1] и убывает на [−1,0][-1, 0].
Следовательно, множество значений многочлена P(x)P(x) на сегменте [−1,1][-1, 1] представляет собой отрезок от P(0)=qP(0) = q до P(±1)=1+qP(\pm 1) = 1 + q.
Максимальное абсолютное отклонение от нуля на этом сегменте будет равно наибольшему из модулей значений на концах этого отрезка значений

Проверка

EP=max⁡(∣q∣,∣1+q∣)E_P = \max(|q|, |1+q|)Нам нужно найти такое значение qq, при котором величина EPE_P достигает минимума.
Из свойств функции максимума модулей известно, что её наименьшее значение достигается тогда, когда значения выражений под модулями равны по величине, но противоположны по знаку (то есть, когда отрезок значений симметричен относительно нуля)q=−(1+q)  ⟹  2q=−1  ⟹  q=−12q = -(1+q) \implies 2q = -1 \implies q = -\frac{1}{2}При q=−1/2q = -1/2 значения функции лежат на отрезке [−1/2,1/2][-1/2, 1/2], и её максимальное абсолютное отклонение равно 1/21/2. Для любого другого значения qq либо ∣q∣>1/2|q| > 1/2, либо ∣1+q∣>1/2|1+q| > 1/2, что увеличит отклонение.
Следовательно, наименьшее уклонение достигается приq=−12q = -\frac{1}{2}
Демидович № 1458 — решение | Высшая математика — Профиматика