Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1458

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1458

При каком выборе коэффициента qq многочленP(x)=x2+qP(x)=x^2+qнаименее отклоняется от нуля на сегменте [−1,1][-1,1], т. е.EP=sup⁡−1≤x≤1∣P(x)∣=min⁡E_P=\sup_{-1\le x\le1}|P(x)|=\min

Решение

Рассмотрим функцию P(x)=x2+qP(x) = x^2 + q. Это чётная функция, графиком которой является парабола с вершиной в точке x=0x = 0. На сегменте [−1,1][-1, 1] функция x2x^2 монотонно возрастает от 00 до 11 при x∈[0,1]x \in [0, 1] и убывает на [−1,0][-1, 0].
Следовательно, множество значений многочлена P(x)P(x) на сегменте [−1,1][-1, 1] представляет собой отрезок от P(0)=qP(0) = q до P(±1)=1+qP(\pm 1) = 1 + q.
Максимальное абсолютное отклонение от нуля на этом сегменте будет равно наибольшему из модулей значений на концах этого отрезка значений
EP=max⁡(∣q∣,∣1+q∣)E_P = \max(|q|, |1+q|)Нам нужно найти такое значение qq, при котором величина EPE_P достигает минимума.
По неравенству треугольника 1=∣(1+q)−q∣≤∣1+q∣+∣q∣≤2EP1=|(1+q)-q|\le|1+q|+|q|\le2E_P. Значит, при любом qq имеем EP≥1/2E_P\ge1/2. Чтобы достичь этой границы, выбираем противоположные по знаку равные модули:q=−(1+q)  ⟹  2q=−1  ⟹  q=−12q = -(1+q) \implies 2q = -1 \implies q = -\frac{1}{2}При q=−1/2q = -1/2 значения функции лежат на отрезке [−1/2,1/2][-1/2, 1/2], и её максимальное абсолютное отклонение равно 1/21/2. Для любого другого значения qq либо ∣q∣>1/2|q| > 1/2, либо ∣1+q∣>1/2|1+q| > 1/2, что увеличит отклонение.
Следовательно, наименьшее уклонение достигается приq=−12q = -\frac{1}{2}
Демидович № 1458 — решение | Высшая математика — Профиматика