Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1443

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти экстремумы функции:

y=e^x\sin x

Решение

Область определения функции

x \in \mathbb{R}

.
Найдём первую производную по правилу дифференцирования произведения

y' = e^x\sin x + e^x\cos x = e^x(\sin x + \cos x)

Вынесем

\sqrt{2}

и применим формулу синуса суммы

y' = \sqrt{2}e^x\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) = \sqrt{2}e^x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю

\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = 0 \implies x+\frac{\pi}{4} = \pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \quad k \in \mathbb{Z}

Критические точки распадаются на две серии:

x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k

x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k

. Множитель

\sqrt{2}e^x

строго положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком синуса.
Для точек

x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k

: аргумент синуса переходит через

2\pi k

, и значение синуса меняется с отрицательного на положительное. Производная меняет знак с минуса на плюс, это точки минимума

y_{\min} = y\left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) = e^{-\frac{\pi}{4} + 2\pi k}\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4} + 2\pi k}

Для точек

x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k

: аргумент синуса переходит через

\pi+2\pi k

, и значение синуса меняется с положительного на отрицательное. Производная меняет знак с плюса на минус, это точки максимума

y_{\max} = y\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right) = e^{\frac{3\pi}{4} + 2\pi k}\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{3\pi}{4} + 2\pi k}

Проверка

Все перечисленные экстремумы локальные. При

k\to+\infty

положительные максимумы растут без границы, а отрицательные минимумы убывают без границы.