Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1434

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=\frac{x^2-3x+2}{x^2+2x+1}

Решение

Идея

Область определения функции

x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}

.
Перепишем функцию, свернув знаменатель по формуле квадрата суммы

Проверка

y = \frac{x^2-3x+2}{(x+1)^2}

Найдём первую производную

y' = \frac{(2x-3)(x+1)^2 - (x^2-3x+2) \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4}

Сократим дробь на

(x+1)

y' = \frac{(2x-3)(x+1) - 2(x^2-3x+2)}{(x+1)^3}

Раскроем скобки в числителе

y' = \frac{2x^2 - x - 3 - 2x^2 + 6x - 4}{(x+1)^3} = \frac{5x - 7}{(x+1)^3}

Критическая точка, в которой производная равна нулю

x = 1.4

Определим знак производной на интервалах, на которые критическая точка и точка разрыва

x = -1

разбивают числовую прямую.
При

x \in (-\infty, -1)

числитель меньше нуля, знаменатель меньше нуля, следовательно

y' > 0

При

x \in (-1, 1.4)

числитель меньше нуля, знаменатель больше нуля, следовательно

y' < 0

При

x \in (1.4, \infty)

числитель больше нуля, знаменатель больше нуля, следовательно

y' > 0

В точке

x = 1.4

производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому это точка минимума

y_{\min} = y(1.4) = \frac{1.4^2 - 3(1.4) + 2}{1.4^2 + 2(1.4) + 1} = \frac{1.96 - 4.2 + 2}{1.96 + 2.8 + 1} = \frac{-0.24}{5.76} = -\frac{1}{24}