Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1439

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1439

y=ln⁡2xxy=\frac{\ln^2 x}{x}

Решение

Идея

Область определения функции x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
Найдём первую производную по правилу дифференцирования дроби

Проверка

y′=2ln⁡x⋅1x⋅x−ln⁡2x⋅1x2=2ln⁡x−ln⁡2xx2=ln⁡x(2−ln⁡x)x2y' = \frac{2\ln x \cdot \frac{1}{x} \cdot x - \ln^2 x \cdot 1}{x^2} = \frac{2\ln x - \ln^2 x}{x^2} = \frac{\ln x(2 - \ln x)}{x^2}Найдём критические точки, приравняв числитель к нулюln⁡x=0  ⟹  x1=1\ln x = 0 \implies x_1 = 12−ln⁡x=0  ⟹  ln⁡x=2  ⟹  x2=e22 - \ln x = 0 \implies \ln x = 2 \implies x_2 = e^2Знаменатель x2x^2 строго положителен. Определим знак числителя на интервалах.
При 0<x<10 < x < 1 имеем ln⁡x<0\ln x < 0 и (2−ln⁡x)>0(2 - \ln x) > 0, следовательно y′<0y' < 0
При 1<x<e21 < x < e^2 имеем ln⁡x>0\ln x > 0 и (2−ln⁡x)>0(2 - \ln x) > 0, следовательно y′>0y' > 0
При x>e2x > e^2 имеем ln⁡x>0\ln x > 0 и (2−ln⁡x)<0(2 - \ln x) < 0, следовательно y′<0y' < 0
В точке x=1x = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимумаymin⁡=y(1)=0y_{\min} = y(1) = 0В точке x=e2x = e^2 производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимумаymax⁡=y(e2)=4e2y_{\max} = y(e^2) = \frac{4}{e^2}