Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1445

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

Задача 1445

f(x)=2xf(x)=2^xна сегменте [−1;5][-1;5].

Решение

Найдём первую производную функции:f′(x)=2xln⁡2f'(x) = 2^x \ln 2Так как 2x>02^x > 0 и ln⁡2>0\ln 2 > 0 для всех x∈Rx \in \mathbb{R}, производная f′(x)>0f'(x) > 0 на всём заданном сегменте. Следовательно, функция f(x)f(x) строго монотонно возрастает на [−1;5][-1; 5].
Своё наименьшее значение функция принимает на левом конце сегмента, а наибольшее — на правом:min⁡[−1;5]f(x)=f(−1)=2−1=12\min_{[-1; 5]} f(x) = f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}max⁡[−1;5]f(x)=f(5)=25=32\max_{[-1; 5]} f(x) = f(5) = 2^5 = 32
Демидович № 1445 — решение | Высшая математика — Профиматика