Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1455

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1455

Определить наибольший член последовательности:

\text{а) }\frac{n^{10}}{2^n}\quad(n=1,2,\ldots);\qquad\text{б) }\frac{\sqrt n}{n+10000}\quad(n=1,2,\ldots);

\text{в) }\sqrt[n]{n}\quad(n=1,2,\ldots)

Решение

Идея

Для нахождения наибольшего члена последовательности

a_n = f(n)

исследуем соответствующую функцию непрерывного аргумента

f(x)

на максимум при

x \ge 1

1
Пункт а)
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^{10}}{2^x}$ Найдём её первую производную $f'(x) = \frac{10x^9 \cdot 2^x - x^{10} \cdot 2^x \ln 2}{(2^x)^2} = \frac{x^9(10 - x\ln 2)}{2^x}$ Приравняем производную к нулю для нахождения стационарной точки $10 - x\ln 2 = 0 \implies x_0 = \frac{10}{\ln 2} \approx \frac{10}{0{,}693} \approx 14{,}43$ Так как при $x < x_0$ производная $f'(x) > 0$ , а при $x > x_0$ производная $f'(x) < 0$ , функция достигает в точке $x_0$ максимума.
Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, наибольший член последовательности достигается либо при $n = 14$ , либо при $n = 15$ . Сравним их, рассмотрев отношение $\frac{a_{14}}{a_{15}} = \frac{14^{10}}{2^{14}} \cdot \frac{2^{15}}{15^{10}} = 2 \left(\frac{14}{15}\right)^{10} \approx 2 \cdot 0{,}5016 > 1$ Так как $a_{14} > a_{15}$ , наибольшим членом последовательности является $a_{14} = \frac{14^{10}}{2^{14}}$
2
Пункт б)
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+10000}$ Найдём её производную $f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+10000) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+10000)^2} = \frac{x + 10000 - 2x}{2\sqrt{x}(x+10000)^2} = \frac{10000 - x}{2\sqrt{x}(x+10000)^2}$ Критическая точка находится из условия $f'(x) = 0$ $10000 - x = 0 \implies x = 10000$ При переходе через точку $x = 10000$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка строгого максимума. Так как найденная точка является целым числом, наибольший член последовательности достигается при $n = 10000$ $a_{10000} = \frac{\sqrt{10000}}{10000+10000} = \frac{100}{20000} = \frac{1}{200}$
3
Пункт в)
Рассмотрим функцию $f(x) = x^{\frac{1}{x}}$ Найдём её производную, используя логарифмическое дифференцирование $\ln f(x) = \frac{\ln x}{x} \implies \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ $f'(x) = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}$ Приравняем производную к нулю $1 - \ln x = 0 \implies x = e \approx 2{,}718$ В точке $x = e$ функция достигает своего максимума. Кандидатами на наибольший член последовательности являются ближайшие целые значения $n = 2$ и $n = 3$ . Сравним их $a_2 = \sqrt{2} \approx 1{,}414$ $a_3 = \sqrt[3]{3} \approx 1{,}442$ Так как $a_3 > a_2$ , наибольшим членом последовательности является $a_3 = \sqrt[3]{3}$