Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1455

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1455

Определить наибольший член последовательности:а) n102n(n=1,2,…);б) nn+10000(n=1,2,…);\text{а) }\frac{n^{10}}{2^n}\quad(n=1,2,\ldots);
\qquad
\text{б) }\frac{\sqrt n}{n+10000}\quad(n=1,2,\ldots);в) nn(n=1,2,…)\text{в) }\sqrt[n]{n}\quad(n=1,2,\ldots)

Решение

Для нахождения наибольшего члена последовательности an=f(n)a_n = f(n) исследуем соответствующую функцию непрерывного аргумента f(x)f(x) на максимум при x≥1x \ge 1.

Пункт а)

Рассмотрим функциюf(x)=x102xf(x) = \frac{x^{10}}{2^x}Найдём её первую производнуюf′(x)=10x9⋅2x−x10⋅2xln⁡2(2x)2=x9(10−xln⁡2)2xf'(x) = \frac{10x^9 \cdot 2^x - x^{10} \cdot 2^x \ln 2}{(2^x)^2} = \frac{x^9(10 - x\ln 2)}{2^x}Приравняем производную к нулю для нахождения стационарной точки10−xln⁡2=0  ⟹  x0=10ln⁡210 - x\ln 2 = 0 \implies x_0=\frac{10}{\ln2}Так как при x<x0x < x_0 производная f′(x)>0f'(x) > 0, а при x>x0x > x_0 производная f′(x)<0f'(x) < 0, функция достигает в точке x0x_0 максимума.
По вычислению №1397 имеем 0,69<ln⁡2<0,700{,}69<\ln2<0{,}70. Поэтому 14ln⁡2<9,8<1014\ln2<9{,}8<10, а 15ln⁡2>10,35>1015\ln2>10{,}35>10, то есть 14<x0<1514<x_0<15. В силу строгой монотонности по обе стороны от x0x_0 среди целых аргументов остаются только кандидаты n=14n=14 и n=15n=15. Сравним их, рассмотрев отношениеa14a15=1410214⋅2151510=2(1415)10\frac{a_{14}}{a_{15}} = \frac{14^{10}}{2^{14}} \cdot \frac{2^{15}}{15^{10}} = 2\left(\frac{14}{15}\right)^{10}Сравним целые числа в последнем отношении. Последовательное возведение в квадрат и умножение даёт142=196,144=38416,145=537824;152=225,154=50625,155=759375.14^2=196,\quad14^4=38416,\quad14^5=537824;
\qquad15^2=225,\quad15^4=50625,\quad15^5=759375.Следовательно,2⋅1410=2⋅5378242=578509309952>576650390625=7593752=1510.2\cdot14^{10}=2\cdot537824^2=578509309952
>576650390625=759375^2=15^{10}.Значит, отношение больше единицы. Так как a14>a15a_{14}>a_{15}, наибольшим членом последовательности являетсяa14=1410214a_{14} = \frac{14^{10}}{2^{14}}

Пункт б)

Рассмотрим функциюf(x)=xx+10000f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+10000}Найдём её производнуюf′(x)=12x(x+10000)−x⋅1(x+10000)2=x+10000−2x2x(x+10000)2=10000−x2x(x+10000)2f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+10000) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+10000)^2} = \frac{x + 10000 - 2x}{2\sqrt{x}(x+10000)^2} = \frac{10000 - x}{2\sqrt{x}(x+10000)^2}Критическая точка находится из условия f′(x)=0f'(x) = 010000−x=0  ⟹  x=1000010000 - x = 0 \implies x = 10000При переходе через точку x=10000x = 10000 производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка строгого максимума. Так как найденная точка является целым числом, наибольший член последовательности достигается при n=10000n = 10000a10000=1000010000+10000=10020000=1200a_{10000} = \frac{\sqrt{10000}}{10000+10000} = \frac{100}{20000} = \frac{1}{200}

Пункт в)

Рассмотрим функциюf(x)=x1xf(x) = x^{\frac{1}{x}}Найдём её производную, используя логарифмическое дифференцированиеln⁡f(x)=ln⁡xx  ⟹  f′(x)f(x)=1x⋅x−ln⁡x⋅1x2=1−ln⁡xx2\ln f(x) = \frac{\ln x}{x} \implies \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}f′(x)=x1x1−ln⁡xx2f'(x) = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}Приравняем производную к нулю1−ln⁡x=0  ⟹  x=e,2<e<31 - \ln x = 0 \implies x=e,\qquad2<e<3В точке x=ex = e функция достигает своего максимума. Кандидатами на наибольший член последовательности являются ближайшие целые значения n=2n = 2 и n=3n = 3. Сравним ихa2=2,a26=23=8a_2=\sqrt2,\qquad a_2^6=2^3=8a3=33,a36=32=9>8a_3=\sqrt[3]3,\qquad a_3^6=3^2=9>8Оба кандидата положительны, а шестая степень строго возрастает на положительной полуоси. Поэтому из a36>a26a_3^6>a_2^6 следует a3>a2a_3>a_2, и наибольшим членом последовательности являетсяa3=33a_3 = \sqrt[3]{3}
Демидович № 1455 — решение | Высшая математика — Профиматика