Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1421

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1421

y=∣x∣y=|x|

Решение

Идея

Область определения функции x∈Rx \in \mathbb{R}.
Функцию можно переписать в виде кусочно-заданной

Проверка

y={xпри x≥0−xпри x<0y =
\begin{cases}
x & \text{при } x \ge 0 \\
-x & \text{при } x < 0
\end{cases}Найдём производную при x≠0x \ne 0y′=sgn⁡xy' = \operatorname{sgn} xВ точке x=0x=0 производная не существует, следовательно, это критическая точка.
При x<0x < 0 производная отрицательна (y′=−1y' = -1), функция убывает.
При x>0x > 0 производная положительна (y′=1y' = 1), функция возрастает.
Производная меняет знак с минуса на плюс, значит, x=0x=0 — точка минимумаymin⁡=y(0)=0y_{\min} = y(0) = 0
Демидович № 1421 — решение