Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1427

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1427

Исследовать на экстремум функции:

\text{а) }\quadf(x)=e^{-\frac1{|x|}}\left(\sqrt2+\sin\left(\frac1x\right)\right)\quad x\ne0\qquadf(0)=0

\text{б) }\quadf(x)=e^{-\frac1{|x|}}\left(\sqrt2+\cos\left(\frac1x\right)\right)\quad x\ne0\qquadf(0)=0

Построить графики этих функций.

ПостроениеВ обоих пунктах единственным экстремумом является строгий
глобальный минимум при

x=0

, равный нулю. Других экстремумов нет.

Построение

Идея

В пункте а) при

x\ne0

справедлива оценка

\sqrt2-1\leqslant\sqrt2+\sin\left(\frac1x\right)\leqslant\sqrt2+1

а в пункте б)

\sqrt2-1\leqslant\sqrt2+\cos\left(\frac1x\right)\leqslant\sqrt2+1

Каждый из двух множителей в скобках положителен. Поэтому обе функции
положительны при

x\ne0

и равны нулю при

x=0

. Следовательно, в обоих
случаях точка

x=0

является точкой строгого глобального минимума.
Остаётся проверить, нет ли других экстремумов.

1
Пункт а)
Обозначим первую функцию через $f_a$ . При $x>0$ $\begin{aligned}f_a'(x)&=\frac{e^{-\frac1x}}{x^2}\left(\sqrt2+\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)\right)=\\&=\frac{\sqrt2e^{-\frac1x}}{x^2}\left(1+\sin\left(\frac1x-\frac\pi4\right)\right)\geqslant0\end{aligned}$ Равенство возможно только в точках $x=\frac4{(8k-1)\pi}\qquad k=1,2,\ldots$ Производная не меняет знак в этих точках, поэтому они не являются
точками экстремума. Функция $f_a$ строго возрастает на $(0,+\infty)$ .

При $x<0$ $\begin{aligned}f_a'(x)&=-\frac{e^{\frac1x}}{x^2}\left(\sqrt2+\sin\left(\frac1x\right)+\cos\left(\frac1x\right)\right)=\\&=-\frac{\sqrt2e^{\frac1x}}{x^2}\left(1+\sin\left(\frac1x+\frac\pi4\right)\right)\leqslant0\end{aligned}$ Здесь производная обращается в нуль только при $x=-\frac4{(8k+3)\pi}\qquad k=0,1,2,\ldots$ и также не меняет знак. Поэтому $f_a$ строго убывает на
$(-\infty,0)$ и других экстремумов не имеет.

Пределы на бесконечности равны $\lim_{x\to\pm\infty}f_a(x)=\sqrt2$ Следовательно, множество значений первой функции имеет вид $E(f_a)=[0,\sqrt2)$
2
Пункт б)
Обозначим вторую функцию через $f_b$ . Она чётная. При $x>0$ $\begin{aligned}f_b'(x)&=\frac{e^{-\frac1x}}{x^2}\left(\sqrt2+\cos\left(\frac1x\right)+\sin\left(\frac1x\right)\right)=\\&=\frac{\sqrt2e^{-\frac1x}}{x^2}\left(1+\sin\left(\frac1x+\frac\pi4\right)\right)\geqslant0\end{aligned}$ Производная равна нулю только в точках $x=\frac4{(8k+5)\pi}\qquad k=0,1,2,\ldots$ и не меняет в них знак. Значит, $f_b$ строго возрастает на
$(0,+\infty)$ . В силу чётности она строго убывает на $(-\infty,0)$ .
Симметричные стационарные точки
$x=\pm\dfrac4{(8k+5)\pi}$ , $k=0,1,2,\ldots$ , также не являются
точками экстремума.

Кроме того, $\lim_{x\to\pm\infty}f_b(x)=\sqrt2+1$ и поэтому $E(f_b)=[0,\sqrt2+1)$ В нуле обе функции не только непрерывны, но и дифференцируемы. Например,
для каждой из них $\begin{aligned}\left|\frac{f(x)-f(0)}x\right|&\leqslant(\sqrt2+1)\frac{e^{-\frac1{|x|}}}{|x|}\longrightarrow0\end{aligned}$ Следовательно, в обоих пунктах $f'(0)=0$ .
3
Построение графика
Для первой функции синяя кривая убывает слева от
нуля и возрастает справа, хотя не является чётной. Для второй функции
график симметричен относительно оси $Oy$ . Горизонтальными пунктирами
показаны асимптоты $y=\sqrt2$ и $y=\sqrt2+1$ . Перечисленные выше
ненулевые стационарные точки не являются точками экстремума: в них
графики имеют горизонтальные касательные, но характер монотонности не
меняется. Около нуля графики рассчитаны с равномерным шагом по фазе
$t=\dfrac1{|x|}$ , чтобы корректно передать учащающиеся изменения их
наклона. $график к задаче Демидовича № 1427$ $график к задаче Демидовича № 1427$

Проверка

Ответ. В обоих пунктах единственным экстремумом является строгий
глобальный минимум при

x=0

, равный нулю. Других экстремумов нет.