Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1432

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти экстремумы функции:

Задача 1432

y=x+1xy=x+\frac1x

Решение

Область определения функции x∈R∖{0}x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}.
Найдём первую производную
y′=1−1x2=x2−1x2y' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}Критические точки находим из уравнения x2−1=0x^2-1 = 0x1=−1,x2=1x_1 = -1, \quad x_2 = 1В точке x=0x=0 производная и сама функция не существуют.
Рассмотрим интервалы знакопостоянства производной, учитывая, что знаменатель всегда положителен при x≠0x \ne 0.
При x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1) производная y′>0y' > 0
При x∈(−1,0)x \in (-1, 0) производная y′<0y' < 0
При x∈(0,1)x \in (0, 1) производная y′<0y' < 0
При x∈(1,∞)x \in (1, \infty) производная y′>0y' > 0
В точке x=−1x = -1 производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимумаymax⁡=y(−1)=−2y_{\max} = y(-1) = -2В точке x=1x = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимумаymin⁡=y(1)=2y_{\min} = y(1) = 2

Проверка



Слова «максимум» и «минимум» здесь относятся к локальным экстремумам. На всей области определения функция не ограничена ни сверху, ни снизу.