Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1420

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1420

y=(1+x+x22!+⋯+xnn!)e−xy=\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)e^{-x}где nn — натуральное число.

Решение

Идея

Область определения функции x∈Rx \in \mathbb{R}.
Найдём первую производную функции

Проверка

y′=(1+x+x22!+⋯+xn−1(n−1)!)e−x−(1+x+x22!+⋯+xnn!)e−xy' = \left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right)e^{-x} - \left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)e^{-x}y′=−xnn!e−xy' = -\frac{x^n}{n!}e^{-x}Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек−xnn!e−x=0  ⟹  x=0-\frac{x^n}{n!}e^{-x} = 0 \implies x = 0Определим знак производной слева и справа от точки x=0x = 0.
Если nn — нечётное число, то при x<0x < 0 выражение xn<0x^n < 0, откуда y′>0y' > 0. При x>0x > 0 выражение xn>0x^n > 0, откуда y′<0y' < 0. Производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, x=0x = 0 — точка максимумаymax⁡=y(0)=1y_{\max} = y(0) = 1Если nn — чётное число, то xn≥0x^n \ge 0 для всех xx, следовательно, y′≤0y' \le 0 на всей числовой прямой. Производная не меняет знак, функция монотонно убывает и экстремума нет.
Демидович № 1420 — решение