Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1441

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1441

y=101+sin⁡2xy=\frac{10}{1+\sin^2x}

Решение

Идея

Область определения функции x∈Rx \in \mathbb{R}.
Найдём первую производную функции, применив цепное правило

Проверка

y′=10⋅(−1)(1+sin⁡2x)−2⋅2sin⁡xcos⁡x=−10sin⁡2x(1+sin⁡2x)2y' = 10 \cdot (-1)(1+\sin^2x)^{-2} \cdot 2\sin x\cos x = -\frac{10\sin 2x}{(1+\sin^2x)^2}Найдём критические точки, приравняв производную к нулю. Знаменатель всегда положителен и не обращается в нульsin⁡2x=0  ⟹  2x=πk  ⟹  x=πk2k∈Z\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2} \quad k \in \mathbb{Z}Критические точки разбиваются на две серии: x=πkx = \pi k и x=π2+πkx = \frac{\pi}{2} + \pi k.
Определим смену знака производной в окрестности каждой серии. Знаменатель всегда положителен, поэтому знак производной противоположен знаку sin⁡2x\sin 2x.
Для x=πkx = \pi k: при xx чуть меньше πk\pi k значение sin⁡2x<0\sin 2x < 0, следовательно y′>0y' > 0. При xx чуть больше πk\pi k значение sin⁡2x>0\sin 2x > 0, следовательно y′<0y' < 0. Производная меняет знак с плюса на минус, это точки максимумаymax⁡=y(πk)=101+0=10y_{\max} = y(\pi k) = \frac{10}{1+0} = 10Для x=π2+πkx = \frac{\pi}{2} + \pi k: при xx чуть меньше этой точки значение sin⁡2x>0\sin 2x > 0, следовательно y′<0y' < 0. При xx чуть больше этой точки значение sin⁡2x<0\sin 2x < 0, следовательно y′>0y' > 0. Производная меняет знак с минуса на плюс, это точки минимумаymin⁡=y(π2+πk)=101+1=5y_{\min} = y\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) = \frac{10}{1+1} = 5
Демидович № 1441 — решение