Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1437

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти экстремумы функции:

y=xe^{-x}

Решение

Область определения функции

x \in \mathbb{R}

.
Найдём первую производную, используя правило дифференцирования произведения

y' = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}(1-x)

Поскольку

e^{-x} > 0

для всех

x

, производная обращается в нуль только при

x = 1

Определим знак производной:
При

x < 1

выражение

(1-x) > 0

, поэтому

y' > 0

При

x > 1

выражение

(1-x) < 0

, поэтому

y' < 0

Так как при переходе через точку

x = 1

производная меняет знак с плюса на минус, функция достигает в ней максимума

y_{\max} = y(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}