Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1447

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

Задача 1447

f(x)=∣x2−3x+2∣f(x)=|x^2-3x+2|на сегменте [−10;10][-10;10].

Решение

Функция непрерывна на заданном отрезке, поэтому по теореме Вейерштрасса имеет наименьшее и наибольшее значения. Они могут достигаться на концах отрезка или во внутренних точках, где производная равна нулю либо не существует. Рассмотрим подмодульную функцию g(x)=x2−3x+2g(x) = x^2 - 3x + 2. Найдём её корни:x2−3x+2=0  ⟹  x1=1,x2=2x^2 - 3x + 2 = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 2Обе точки лежат внутри сегмента [−10;10][-10; 10]. Поскольку модуль не может принимать отрицательных значений, а в этих точках f(x)=0f(x) = 0, наименьшее значение функции равно 00.
Найдём локальные экстремумы подмодульной функции:g′(x)=2x−3=0  ⟹  x=1,5g'(x) = 2x - 3 = 0 \implies x = 1{,}5Вычислим значение исходной функции f(x)f(x) в этой точке:f(1,5)=∣1,52−3⋅1,5+2∣=∣2,25−4,5+2∣=∣−0,25∣=0,25f(1{,}5) = |1{,}5^2 - 3 \cdot 1{,}5 + 2| = |2{,}25 - 4{,}5 + 2| = |-0{,}25| = 0{,}25Теперь вычислим значения функции на концах заданного сегмента:f(−10)=∣(−10)2−3(−10)+2∣=∣100+30+2∣=132f(-10) = |(-10)^2 - 3(-10) + 2| = |100 + 30 + 2| = 132f(10)=∣102−3⋅10+2∣=∣100−30+2∣=72f(10) = |10^2 - 3 \cdot 10 + 2| = |100 - 30 + 2| = 72Сравнивая все полученные значения 00, 0,250{,}25, 132132 и 7272, находим:min⁡[−10;10]f(x)=f(1)=f(2)=0\min_{[-10; 10]} f(x) = f(1) = f(2) = 0max⁡[−10;10]f(x)=f(−10)=132\max_{[-10; 10]} f(x) = f(-10) = 132