Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1425

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1425

Можно ли утверждать, что если функция f(x)f(x) в точке x0x_0 имеет максимум, то в некоторой достаточно малой окрестности этой точки слева от точки x0x_0 функция f(x)f(x) возрастает, а справа от неё убывает?

Рассмотреть примерf(x)=2−x2(2+sin⁡1x)x≠0f(0)=2f(x)=2-x^2\left(2+\sin\frac1x\right) \quad x\ne0 \qquad f(0)=2

Решение

Идея

Покажем на предложенном примере, что это утверждение неверно.
Поскольку sin⁡(1x)≥−1\sin\left(\frac{1}{x}\right) \ge -1, выражение в скобках всегда положительно: 2+sin⁡(1x)≥12+\sin\left(\frac{1}{x}\right) \ge 1. Так как x2≥0x^2 \ge 0, вычитаемое неотрицательно, поэтому для любого x≠0x \ne 0 выполняется неравенствоf(x)≤2−x2⋅1<2f(x) \le 2 - x^2 \cdot 1 < 2Поскольку f(0)=2f(0)=2, то f(x)<f(0)f(x) < f(0) для всех x≠0x \ne 0. Таким образом, в точке x0=0x_0=0 функция имеет строгий максимум.
Найдём производную функции при x≠0x \ne 0f′(x)=−2x(2+sin⁡1x)−x2cos⁡1x⋅(−1x2)f'(x) = -2x\left(2+\sin\frac1x\right) - x^2\cos\frac1x \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)f′(x)=−4x−2xsin⁡1x+cos⁡1xf'(x) = -4x - 2x\sin\frac1x + \cos\frac1xПри стремлении x→0x \to 0 первые два слагаемых стремятся к нулю. Однако слагаемое cos⁡(1x)\cos\left(\frac{1}{x}\right) колеблется от −1-1 до 11 и предела не имеет.
В любой, сколь угодно малой окрестности нуля найдутся точки, где cos⁡(1x)=1\cos\left(\frac{1}{x}\right) = 1 (и тогда f′(x)>0f'(x) > 0), и точки, где cos⁡(1x)=−1\cos\left(\frac{1}{x}\right) = -1 (и тогда f′(x)<0f'(x) < 0).
Из-за бесконечного чередования знака производной вблизи нуля функция не является монотонно возрастающей слева от нуля и монотонно убывающей справа от него. Утверждение опровергнуто.
Демидович № 1425 — решение