Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1425

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1425

Можно ли утверждать, что если функция

f(x)

в точке

x_0

имеет максимум, то в некоторой достаточно малой окрестности этой точки слева от точки

x_0

функция

f(x)

возрастает, а справа от неё убывает?

Рассмотреть пример

f(x)=2-x^2\left(2+\sin\frac1x\right) \quad x\ne0 \qquad f(0)=2

Решение

Покажем на предложенном примере, что это утверждение неверно.
Поскольку

\sin\left(\frac{1}{x}\right) \ge -1

, выражение в скобках всегда положительно:

2+\sin\left(\frac{1}{x}\right) \ge 1

. Так как

x^2 \ge 0

, вычитаемое неотрицательно, поэтому для любого

x \ne 0

выполняется неравенство

f(x) \le 2 - x^2 \cdot 1 < 2

Поскольку

f(0)=2

, то

f(x) < f(0)

для всех

x \ne 0

. Таким образом, в точке

x_0=0

функция имеет строгий максимум.

Найдём производную функции при

x \ne 0

f'(x) = -2x\left(2+\sin\frac1x\right) - x^2\cos\frac1x \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

f'(x) = -4x - 2x\sin\frac1x + \cos\frac1x

При стремлении

x \to 0

первые два слагаемых стремятся к нулю. Однако слагаемое

\cos\left(\frac{1}{x}\right)

колеблется от

-1

до

1

и предела не имеет.
Возьмём

u_k=1/(2\pi k)

v_k=1/((2k+1)\pi)

. В этих точках синус равен нулю, поэтому

f'(u_k)=1-4u_k>0

при достаточно больших

k

, а

f'(v_k)=-1-4v_k<0

. Для отрицательных аргументов

f'(-u_k)=1+4u_k>0

f'(-v_k)=-1+4v_k<0

при достаточно больших

k

. Обе последовательности на каждой стороне стремятся к нулю. Значит, на любой из двух сторон производная принимает оба знака сколь угодно близко к нулю.
Из-за бесконечного чередования знака производной вблизи нуля функция не является монотонно возрастающей слева от нуля и монотонно убывающей справа от него. Утверждение опровергнуто.