Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1462

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1462

x3−6x2+9x−10=0x^3-6x^2+9x-10=0

Решение

Проверка

Рассмотрим функциюf(x)=x3−6x2+9x−10f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 10Найдём её первую производную:f′(x)=3x2−12x+9=3(x2−4x+3)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:x1=1,x2=3x_1 = 1, \quad x_2 = 3Определим знаки производной:
При x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1) производная f′(x)>0f'(x) > 0, функция возрастает.
При x∈(1,3)x \in (1, 3) производная f′(x)<0f'(x) < 0, функция убывает.
При x∈(3,∞)x \in (3, \infty) производная f′(x)>0f'(x) > 0, функция возрастает.
Вычислим значения функции в точках локальных экстремумов:fmax⁡=f(1)=1−6+9−10=−6f_{\max} = f(1) = 1 - 6 + 9 - 10 = -6fmin⁡=f(3)=27−54+27−10=−10f_{\min} = f(3) = 27 - 54 + 27 - 10 = -10Так как локальный максимум отрицателен (f(1)<0f(1) < 0) и lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, на интервале (−∞,3](-\infty, 3] корней нет.
Поскольку lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, функция пересекает ось абсцисс ровно один раз на интервале (3,+∞)(3, +\infty).
Следовательно, уравнение имеет ровно один вещественный корень. Отделим его, вычислив значения функции для целых x>3x > 3:f(4)=43−6⋅42+9⋅4−10=64−96+36−10=−6f(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 9 \cdot 4 - 10 = 64 - 96 + 36 - 10 = -6f(5)=53−6⋅52+9⋅5−10=125−150+45−10=10f(5) = 5^3 - 6 \cdot 5^2 + 9 \cdot 5 - 10 = 125 - 150 + 45 - 10 = 10Функция меняет знак на концах отрезка [4,5][4, 5].
Единственный корень находится в интервалеx∈(4,5)x \in (4, 5)
Демидович № 1462 — решение