Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1418

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Исследовать на экстремум функцию:

Задача 1418

y=cos⁡x+ch⁡x.y=\cos x+\operatorname{ch} x.

Решение

Область определения функции: x∈Rx \in \mathbb{R}.
Найдём первую производную:y′=−sin⁡x+sh⁡xy' = -\sin x + \operatorname{sh} xКритическая точка находится из уравнения sh⁡x=sin⁡x\operatorname{sh} x = \sin x. При x=0x=0 обе части равны нулю.
Покажем, что других корней нет.
Для x>0x>0 имеем ch⁡x−1=(ex/2−e−x/2)2/2>0\operatorname{ch}x-1=(e^{x/2}-e^{-x/2})^2/2>0. Следовательно, функция sh⁡x−x\operatorname{sh}x-x имеет положительную производную и возрастает от нулевого значения в нуле. Поэтому sh⁡x>x\operatorname{sh}x>x. Из известного неравенства sin⁡x<x\sin x<x при x>0x>0 получаем sh⁡x>x>sin⁡x\operatorname{sh}x>x>\sin x.
Для x<0x < 0 справедливо неравенство sh⁡x<x<sin⁡x\operatorname{sh} x < x < \sin x.
Таким образом, x=0x = 0 — единственная критическая точка.
Воспользуемся достаточными условиями экстремума высших порядков. Найдём производные высших порядков в точке x=0x=0:
\begin{align*}
y'' &= -\cos x + \operatorname{ch} x & y''(0) &= -1 + 1 = 0\\
y''' &= \sin x + \operatorname{sh} x & y'''(0) &= 0 + 0 = 0\\
y^{(IV)} &= \cos x + \operatorname{ch} x & y^{(IV)}(0) &= 1 + 1 = 2 \ne 0
\end{align*}
Первая отличная от нуля производная имеет чётный порядок (n=4n=4), и её значение больше нуля (y(IV)(0)>0y^{(IV)}(0) > 0). Следовательно, в точке x=0x = 0 функция достигает минимума.ymin⁡=y(0)=cos⁡0+ch⁡0=1+1=2y_{\min} = y(0) = \cos 0 + \operatorname{ch} 0 = 1 + 1 = 2
Демидович № 1418 — решение | Высшая математика — Профиматика