Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1418

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1418

y=cos⁡x+ch⁡x.y=\cos x+\operatorname{ch} x.

Решение

Идея

Область определения функции: x∈Rx \in \mathbb{R}.
Найдём первую производную:y′=−sin⁡x+sh⁡xy' = -\sin x + \operatorname{sh} xКритическая точка находится из уравнения sh⁡x=sin⁡x\operatorname{sh} x = \sin x. Очевидным корнем является x=0x = 0.
Покажем, что других корней нет.
Для x>0x > 0 справедливо неравенство sh⁡x>x>sin⁡x\operatorname{sh} x > x > \sin x.
Для x<0x < 0 справедливо неравенство sh⁡x<x<sin⁡x\operatorname{sh} x < x < \sin x.
Таким образом, x=0x = 0 — единственная критическая точка.

Проверка

Воспользуемся достаточными условиями экстремума высших порядков. Найдём производные высших порядков в точке x=0x=0:
\begin{align*}
y'' &= -\cos x + \operatorname{ch} x & y''(0) &= -1 + 1 = 0
y''' &= \sin x + \operatorname{sh} x & y'''(0) &= 0 + 0 = 0
y^{(IV)} &= \cos x + \operatorname{ch} x & y^{(IV)}(0) &= 1 + 1 = 2 \ne 0
\end{align*}
Первая отличная от нуля производная имеет чётный порядок (n=4n=4), и её значение больше нуля (y(IV)(0)>0y^{(IV)}(0) > 0). Следовательно, в точке x=0x = 0 функция достигает минимума.ymin⁡=y(0)=cos⁡0+ch⁡0=1+1=2y_{\min} = y(0) = \cos 0 + \operatorname{ch} 0 = 1 + 1 = 2
Демидович № 1418 — решение | Высшая математика — Профиматика