Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1423

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1423

Исследовать на экстремум в точке x=x0x=x_0 функциюf(x)=(x−x0)nφ(x)f(x)=(x-x_0)^n\varphi(x)где nn — натуральное число, функция φ(x)\varphi(x) непрерывна при x=x0x=x_0 и φ(x0)≠0\varphi(x_0)\ne0.

Решение

Идея

Поскольку функция φ(x)\varphi(x) непрерывна в точке x0x_0 и φ(x0)≠0\varphi(x_0) \ne 0, то по свойству непрерывных функций она сохраняет знак в некоторой окрестности этой точки.
Значение функции в точке x0x_0 равно

Проверка

f(x0)=(x0−x0)nφ(x0)=0f(x_0) = (x_0-x_0)^n\varphi(x_0) = 0Рассмотрим приращение функции в окрестности точки x0x_0Δf=f(x)−f(x0)=(x−x0)nφ(x)\Delta f = f(x) - f(x_0) = (x-x_0)^n\varphi(x)Если nn — чётное число, то (x−x0)n>0(x-x_0)^n > 0 при x≠x0x \ne x_0. Следовательно, знак Δf\Delta f совпадает со знаком φ(x)\varphi(x) (и, соответственно, φ(x0)\varphi(x_0)) в указанной окрестности.
При φ(x0)>0\varphi(x_0) > 0 имеем Δf>0\Delta f > 0, то есть f(x)>f(x0)f(x) > f(x_0). Значит, x0x_0 — точка строгого минимума.
При φ(x0)<0\varphi(x_0) < 0 имеем Δf<0\Delta f < 0, то есть f(x)<f(x0)f(x) < f(x_0). Значит, x0x_0 — точка строгого максимума.
Если nn — нечётное число, то множитель (x−x0)n(x-x_0)^n меняет знак при переходе через точку x0x_0. Поскольку φ(x)\varphi(x) сохраняет знак, приращение Δf\Delta f также меняет знак. В этом случае экстремума в точке x0x_0 нет.
Демидович № 1423 — решение