Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1463

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни:

Задача 1463

x3−3x2−9x+h=0x^3-3x^2-9x+h=0

Решение

Запишем уравнение в виде:−x3+3x2+9x=h-x^3 + 3x^2 + 9x = hРассмотрим функцию левой части:f(x)=−x3+3x2+9xf(x) = -x^3 + 3x^2 + 9xНайдём её первую производную:f′(x)=−3x2+6x+9=−3(x2−2x−3)=−3(x+1)(x−3)f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x^2 - 2x - 3) = -3(x+1)(x-3)Приравняем к нулю и найдём критические точки:x1=−1,x2=3x_1 = -1, \quad x_2 = 3Вычислим значения функции в этих точках:fmin⁡=f(−1)=−(−1)+3−9=−5f_{\min} = f(-1) = -(-1) + 3 - 9 = -5fmax⁡=f(3)=−27+27+27=27f_{\max} = f(3) = -27 + 27 + 27 = 27Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения графика функции y=f(x)y = f(x) с горизонтальной прямой y=hy = h.
Исследуем возможные случаи в зависимости от hh:
Если h<−5h < -5, то прямая y=hy = h лежит ниже локального минимума, уравнение имеет 11 корень (в интервале x>3x > 3).
Если h=−5h = -5, то прямая касается графика в точке минимума, уравнение имеет 22 корня (один из них кратный x=−1x = -1, другой в интервале x>3x > 3).
Если −5<h<27-5 < h < 27, то прямая пересекает график в трёх точках, уравнение имеет 33 корня (в интервалах x<−1x < -1, −1<x<3-1 < x < 3 и x>3x > 3).
Если h=27h = 27, то прямая касается графика в точке максимума, уравнение имеет 22 корня (один кратный x=3x = 3, другой в интервале x<−1x < -1).
Если h>27h > 27, то прямая лежит выше максимума, уравнение имеет 11 корень (в интервале x<−1x < -1).

Проверка

Строгая монотонность, используемая при подсчёте, следует из знака −3(x+1)(x−3)-3(x+1)(x-3): функция убывает на (−∞,−1)(-\infty,-1), возрастает на (−1,3)(-1,3) и убывает на (3,+∞)(3,+\infty). Её пределы слева и справа равны +∞+\infty и −∞-\infty. Непрерывность и эти свойства обеспечивают ровно одно пересечение на каждой указанной ветви.

На границах параметра можно выписать корни точно:h=−5:x3−3x2−9x−5=(x+1)2(x−5),h=-5:\quad x^3-3x^2-9x-5=(x+1)^2(x-5),h=27:x3−3x2−9x+27=(x−3)2(x+3).h=27:\quad x^3-3x^2-9x+27=(x-3)^2(x+3).Значит, это соответственно корни −1,5-1,5 и −3,3-3,3; корни −1-1 и 33 двукратные. В классификации считается число различных вещественных корней.
Демидович № 1463 — решение | Высшая математика — Профиматика