Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1428

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1428

Исследовать на экстремум в точке

x=0

функцию

f(x)=|x|\left(2+\cos\left(\frac1x\right)\right)\quad x\ne0\qquadf(0)=0

Построить график этой функции.

ПостроениеВ точке

x=0

функция имеет строгий глобальный минимум,
равный нулю. Производная

f'(0)

не существует.

Построение

Поскольку

-1\leqslant\cos\left(\frac1x\right)\leqslant1

при

x\ne0

имеем

|x|\leqslant|x|\left(2+\cos\left(\frac1x\right)\right)\leqslant3|x|

Отсюда следуют непрерывность функции в нуле и равенство

\lim_{x\to0}f(x)=0

Кроме того, при

x\ne0

f(x)\geqslant|x|>0

При этом

f(0)=0

. Поэтому в точке

x=0

функция имеет строгий глобальный минимум, равный
нулю.

При этом производная в нуле не существует. Для

h>0

\frac{f(h)-f(0)}h=2+\cos\left(\frac1h\right)

Возьмём две последовательности

h_n=\frac1{2\pi n}\qquad\widetilde h_n=\frac1{(2n+1)\pi}\qquadn=1,2,\ldots

Тогда

\begin{aligned}\frac{f(h_n)-f(0)}{h_n}&=3\\\frac{f(\widetilde h_n)-f(0)}{\widetilde h_n}&=1\end{aligned}

Оба аргумента стремятся к нулю справа, но соответствующие разностные
отношения имеют разные пределы. Следовательно, не существует даже правой
производной. Таким образом, наличие экстремума не требует существования
производной в рассматриваемой точке.

Построение графика

Функция чётная, поэтому её график симметричен
относительно оси

Oy

. Синяя кривая колеблется между пунктирными
огибающими

y=|x|

y=3|x|

и имеет строгий минимум в точке

(0,0)

.
Колебания учащаются при

x\to0

. Неразличимая на рисунке часть около нуля целиком лежит между указанными прямыми; оценка

|x|\le f(x)\le3|x|

описывает её независимо от масштаба изображения. $график к задаче Демидовича № 1428$

Ответ

В точке

x=0

функция имеет строгий глобальный минимум,
равный нулю. Производная

f'(0)

не существует.