Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1428

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1428

Исследовать на экстремум в точке x=0x=0 функциюf(x)=∣x∣(2+cos⁡(1x))x≠0f(0)=0f(x)=|x|\left(2+\cos\left(\frac1x\right)\right)
\quad x\ne0
\qquad
f(0)=0Построить график этой функции.
ПостроениеВ точке x=0x=0 функция имеет строгий глобальный минимум,
равный нулю. Производная f′(0)f'(0) не существует.

Построение

Идея

Поскольку−1⩽cos⁡(1x)⩽1-1\leqslant\cos\left(\frac1x\right)\leqslant1при x≠0x\ne0 имеем∣x∣⩽∣x∣(2+cos⁡(1x))⩽3∣x∣|x|
\leqslant
|x|\left(2+\cos\left(\frac1x\right)\right)
\leqslant
3|x|Отсюда следуют непрерывность функции в нуле и равенствоlim⁡x→0f(x)=0\lim_{x\to0}f(x)=0Кроме того, при x≠0x\ne0f(x)⩾∣x∣>0f(x)\geqslant|x|>0При этом f(0)=0f(0)=0. Поэтому в точке x=0x=0 функция имеет строгий глобальный минимум, равный
нулю.
  1. 1
    При этом производная в нуле не существует. Для h>0h>0f(h)−f(0)h=2+cos⁡(1h)\frac{f(h)-f(0)}h=2+\cos\left(\frac1h\right)Возьмём две последовательностиhn=12πnh~n=1(2n+1)πn=1,2,…h_n=\frac1{2\pi n}
    \qquad
    \widetilde h_n=\frac1{(2n+1)\pi}
    \qquad
    n=1,2,\ldots    Тогдаf(hn)−f(0)hn=3f(h~n)−f(0)h~n=1\begin{aligned}
    \frac{f(h_n)-f(0)}{h_n}
    &=3\\
    \frac{f(\widetilde h_n)-f(0)}{\widetilde h_n}
    &=1
    \end{aligned}    Оба аргумента стремятся к нулю справа, но соответствующие разностные
    отношения имеют разные пределы. Следовательно, не существует даже правой
    производной. Таким образом, наличие экстремума не требует существования
    производной в рассматриваемой точке.
  2. 2

    Построение графика

    Функция чётная, поэтому её график симметричен
    относительно оси OyOy. Синяя кривая колеблется между пунктирными
    огибающими y=∣x∣y=|x| и y=3∣x∣y=3|x| и имеет строгий минимум в точке (0,0)(0,0).
    Колебания учащаются при x→0x\to0. Для их корректного изображения график
    построен параметрически с равномерным шагом по фазе
    t=1∣x∣t=\dfrac1{|x|}; неразличимая часть около нуля целиком лежит между
    указанными огибающими.график к задаче Демидовича № 1428

Проверка

Ответ. В точке x=0x=0 функция имеет строгий глобальный минимум,
равный нулю. Производная f′(0)f'(0) не существует.