Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1433

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1433

y=2x1+x2y=\frac{2x}{1+x^2}

Решение

Идея

Область определения функции x∈Rx \in \mathbb{R}.
Найдём первую производную, используя правило дифференцирования дроби
y′=2(1+x2)−2x(2x)(1+x2)2=2−2x2(1+x2)2=2(1−x)(1+x)(1+x2)2y' = \frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x)(1+x)}{(1+x^2)^2}Приравняем производную к нулю и найдём критические точкиx1=−1,x2=1x_1 = -1, \quad x_2 = 1Знаменатель дроби всегда строго положителен, поэтому знак производной определяется числителем.
При x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1) производная y′<0y' < 0
При x∈(−1,1)x \in (-1, 1) производная y′>0y' > 0
При x∈(1,∞)x \in (1, \infty) производная y′<0y' < 0
В точке x=−1x = -1 производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимумаymin⁡=y(−1)=−1y_{\min} = y(-1) = -1В точке x=1x = 1 производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимумаymax⁡=y(1)=1y_{\max} = y(1) = 1
Демидович № 1433 — решение