Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1461

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1461

Определить минимум функцииf(x)=max⁡{2∣x∣,∣1+x∣}f(x)=\max\{2|x|,|1+x|\}

Решение

Идея

Для нахождения минимума функции f(x)=max⁡{2∣x∣,∣1+x∣}f(x) = \max\{2|x|, |1+x|\} определим точки пересечения графиков составляющих её функций y1=2∣x∣y_1 = 2|x| и y2=∣1+x∣y_2 = |1+x|.
Решим уравнение

Проверка

2∣x∣=∣1+x∣2|x| = |1+x|Возведём обе части в квадрат, так как они неотрицательны4x2=(1+x)2  ⟹  4x2=1+2x+x2  ⟹  3x2−2x−1=04x^2 = (1+x)^2 \implies 4x^2 = 1 + 2x + x^2 \implies 3x^2 - 2x - 1 = 0Корнями полученного квадратного уравнения являютсяx1=1,x2=−13x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{1}{3}Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Определим, какая из функций больше на каждом из них:
На интервале (−∞,−1/3)(-\infty, -1/3) возьмём контрольную точку x=−1x = -1. Имеем 2∣−1∣=22|-1| = 2 и ∣1−1∣=0|1-1| = 0, значит 2∣x∣>∣1+x∣2|x| > |1+x|
На интервале (−1/3,1)(-1/3, 1) возьмём контрольную точку x=0x = 0. Имеем 2∣0∣=02|0| = 0 и ∣1+0∣=1|1+0| = 1, значит ∣1+x∣>2∣x∣|1+x| > 2|x|
На интервале (1,+∞)(1, +\infty) возьмём контрольную точку x=2x = 2. Имеем 2∣2∣=42|2| = 4 и ∣1+2∣=3|1+2| = 3, значит 2∣x∣>∣1+x∣2|x| > |1+x|
Таким образом, функцию f(x)f(x) можно записать кусочно, раскрыв модули на соответствующих интервалахf(x)={−2xпри x≤−131+xпри −13<x≤12xпри x>1f(x) =
\begin{cases}
-2x & \text{при } x \le -\frac{1}{3} \\
1+x & \text{при } -\frac{1}{3} < x \le 1 \\
2x & \text{при } x > 1
\end{cases}Исследуем функцию на монотонность:
При x≤−1/3x \le -1/3 функция строго убывает, так как её график — прямая с отрицательным угловым коэффициентом −2-2.
При −1/3<x≤1-1/3 < x \le 1 функция строго возрастает, её график — прямая с положительным угловым коэффициентом 11.
При x>1x > 1 функция продолжает строго возрастать, её график — прямая с положительным угловым коэффициентом 22.
Следовательно, своего единственного и глобального минимума функция f(x)f(x) достигает в точке стыка убывающего и возрастающего участков, то есть при x=−1/3x = -1/3.
Вычислим значение функции в этой точкеmin⁡f(x)=f(−13)=2∣−13∣=23\min f(x) = f\left(-\frac{1}{3}\right) = 2\left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{2}{3}
Демидович № 1461 — решение