Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1440

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти экстремумы функции:

y=\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x

Решение

Область определения функции

x \in \mathbb{R}

. Функция является периодической с периодом

2\pi

.
Найдём первую производную

y' = -\sin x - \frac{1}{2} \cdot 2\sin 2x = -\sin x - \sin 2x

Используя формулу синуса двойного угла, преобразуем выражение

y' = -\sin x - 2\sin x\cos x = -\sin x(1 + 2\cos x)

Найдём критические точки, решив уравнение

y' = 0

\sin x = 0 \implies x = \pi k \quad k \in \mathbb{Z}

1 + 2\cos x = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad k \in \mathbb{Z}

Найдём вторую производную для определения характера экстремумов

y'' = -\cos x - 2\cos 2x

Исследуем каждую серию точек:

Для

x = 2\pi k

y''(2\pi k) = -1 - 2 = -3 < 0

Значит, в этих точках функция достигает максимума

y_{\max} = y(2\pi k) = \cos(0) + \frac{1}{2}\cos(0) = \frac{3}{2}

Для

x = \pi + 2\pi k

y''(\pi + 2\pi k) = -\cos(\pi) - 2\cos(2\pi) = 1 - 2 = -1 < 0

Значит, в этих точках функция также достигает максимума

y_{\max} = y(\pi + 2\pi k) = \cos(\pi) + \frac{1}{2}\cos(2\pi) = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}

Для

x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k

y''\left(\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right) = -\left(-\frac{1}{2}\right) - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} > 0

Значит, в этих точках функция достигает минимума

y_{\min} = y\left(\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{4}

y=\cos x+\frac12\cos2x.

Проверка

Максимумы

3/2

-1/2

имеют разный уровень, поэтому оба называются локальными. Наибольшее значение на всей прямой равно

3/2

, а наименьшее —

-3/4

. Это также видно из

y=(\cos x+1/2)^2-3/4

при

-1\le\cos x\le1