Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1442

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти экстремумы функции:

y=\operatorname{arctg} x-\frac12\ln(1+x^2)

Решение

Область определения функции

x \in \mathbb{R}

.
Найдём первую производную функции

y' = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \cdot 2x = \frac{1}{1+x^2} - \frac{x}{1+x^2} = \frac{1-x}{1+x^2}

Критическая точка находится из условия

y' = 0

1-x = 0 \implies x = 1

Знаменатель дроби всегда положителен, поэтому знак производной зависит только от числителя.
При

x < 1

числитель

1-x > 0

, следовательно

y' > 0

При

x > 1

числитель

1-x < 0

, следовательно

y' < 0

В точке

x=1

производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума

y_{\max} = y(1) = \operatorname{arctg} 1 - \frac{1}{2}\ln(1+1^2) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2