Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1414

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=2+x-x^2.

Решение

Идея

Область определения функции:

x \in \mathbb{R}

.
Найдём первую производную функции:

y' = (2+x-x^2)' = 1 - 2x.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

1 - 2x = 0 \implies x = \frac{1}{2}

Найдём вторую производную:

y'' = (1 - 2x)' = -2

Поскольку

y''\left(\frac{1}{2}\right) = -2 < 0

, в точке

x = \frac{1}{2}

функция достигает строгого локального максимума.
Вычислим значение функции в этой точке:

y_{\max} = y\left(\frac{1}{2}\right) = 2 + \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}