Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1416

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Исследовать на экстремум функцию:

y=(x-1)^4.

Решение

Область определения функции:

x \in \mathbb{R}

.
Найдём первую производную:

y' = 4(x-1)^3.

Критическая точка:

x = 1

, так как

y'(1) = 0

.
Определим знак производной слева и справа от критической точки:
при

x < 1

имеем

x - 1 < 0 \implies y' < 0

;
при

x > 1

имеем

x - 1 > 0 \implies y' > 0

.
Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс, в точке

x = 1

функция имеет минимум.
Вычислим значение функции:

y_{\min} = y(1) = 0.