Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1419

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Исследовать на экстремум функцию:

Задача 1419

y=(x+1)10e−x.y=(x+1)^{10}e^{-x}.

Решение

Область определения функции: x∈Rx \in \mathbb{R}.
Найдём первую производную функции, используя правило дифференцирования произведения:
\begin{align*}
y' &= 10(x+1)^9 e^{-x} + (x+1)^{10} e^{-x} \cdot (-1)\\
&= (x+1)^9 e^{-x} [10 - (x+1)]\\
&= (x+1)^9 (9 - x) e^{-x}
\end{align*}
Поскольку e−x>0e^{-x} > 0 для всех x∈Rx \in \mathbb{R}, критические точки определяются из уравнения:(x+1)9(9−x)=0  ⟹  x1=−1x2=9(x+1)^9 (9 - x) = 0 \implies x_1 = -1 \quad x_2 = 9Исследуем смену знака производной y′y' при переходе через критические точки:
При x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1) множитель (x+1)9<0(x+1)^9 < 0 и (9−x)>0(9-x) > 0, откуда y′<0y' < 0
При x∈(−1,9)x \in (-1, 9) множитель (x+1)9>0(x+1)^9 > 0 и (9−x)>0(9-x) > 0, откуда y′>0y' > 0
При x∈(9,∞)x \in (9, \infty) множитель (x+1)9>0(x+1)^9 > 0 и (9−x)<0(9-x) < 0, откуда y′<0y' < 0
В точке x=−1x = -1 производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума:ymin⁡=y(−1)=0y_{\min} = y(-1) = 0В точке x=9x = 9 производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума:ymax⁡=y(9)=(9+1)10e−9=1010e9.y_{\max} = y(9) = (9+1)^{10} e^{-9} = \frac{10^{10}}{e^9}.

Проверка



Максимум при x=9x=9 локальный: на всей прямой функция не ограничена сверху, поскольку при x→−∞x\to-\infty оба положительных множителя (x+1)10(x+1)^{10} и e−xe^{-x} стремятся к бесконечности. Минимум y(−1)=0y(-1)=0 — глобальный, так как y≥0y\ge0.
Демидович № 1419 — решение | Высшая математика — Профиматика