Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1417

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1417

y=xm(1−x)n,y=x^m(1-x)^n,где mm и nn — целые положительные числа.

Решение

Идея

Область определения функции: x∈Rx \in \mathbb{R}.
Найдём производную функции, применяя правило дифференцирования произведения:
\begin{align*}
y' &= mx^{m-1}(1-x)^n + x^m \cdot n(1-x)^{n-1} \cdot (-1)
&= x^{m-1}(1-x)^{n-1} [m(1-x) - nx]
&= x^{m-1}(1-x)^{n-1} [m - (m+n)x]
\end{align*}
Приравняем производную к нулю. Возможные критические точки:x1=0,x2=1,x3=mm+nx_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = \frac{m}{m+n}Исследуем каждую точку на смену знака производной.
Точка x3=mm+nx_3 = \frac{m}{m+n}. Так как mm и nn — целые положительные числа, точка x3∈(0,1)x_3 \in (0, 1). В некоторой окрестности этой точки множитель xm−1(1−x)n−1x^{m-1}(1-x)^{n-1} строго положителен. Линейный множитель [m−(m+n)x][m - (m+n)x] при переходе через x3x_3 меняет знак с плюса на минус.
Следовательно, в точке x=mm+nx = \frac{m}{m+n} функция достигает максимума:ymax⁡=(mm+n)m(1−mm+n)n=mmnn(m+n)m+ny_{\max} = \left(\frac{m}{m+n}\right)^m \left(1 - \frac{m}{m+n}\right)^n = \frac{m^m n^n}{(m+n)^{m+n}}Точка x1=0x_1 = 0.
В окрестности нуля множитель (1−x)n−1[m−(m+n)x](1-x)^{n-1}[m-(m+n)x] сохраняет положительный знак. Поведение знака y′y' полностью определяется множителем xm−1x^{m-1}.
Если mm — чётное число, то показатель степени (m−1)(m-1) нечётен. Тогда xm−1x^{m-1} меняет знак с минуса на плюс. Значит, x=0x=0 — точка минимума: ymin⁡=0y_{\min} = 0.
Если mm — нечётное число, то (m−1)(m-1) чётно. Множитель xm−1x^{m-1} не меняет знак (остаётся неотрицательным), экстремума в точке x=0x=0 нет.

Проверка

3. Точка x2=1x_2 = 1.
В окрестности единицы множитель xm−1x^{m-1} положителен, а выражение в квадратных скобках принимает значение m−(m+n)=−n<0m - (m+n) = -n < 0.
Знак y′y' зависит от множителя (1−x)n−1(1-x)^{n-1}.
Если nn — чётное число, то (n−1)(n-1) нечётен. При x<1x < 1 имеем 1−x>0  ⟹  (1−x)n−1>01-x > 0 \implies (1-x)^{n-1} > 0, откуда с учётом отрицательной скобки получаем y′<0y' < 0. При x>1x > 1 имеем 1−x<0  ⟹  (1−x)n−1<01-x < 0 \implies (1-x)^{n-1} < 0, откуда y′>0y' > 0. Производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=1x=1 — точка минимума: ymin⁡=0y_{\min} = 0.
Если nn — нечётное число, то (n−1)(n-1) чётно. Множитель (1−x)n−1≥0(1-x)^{n-1} \ge 0 не меняет знак. Поскольку скобка [m−(m+n)x][m - (m+n)x] отрицательна, производная также не меняет знак. Экстремума в точке x=1x=1 нет.
Демидович № 1417 — решение