Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1450

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) функции:

f(x)=xe^{-0{,}01x}

на интервале

(0,+\infty)

Решение

Найдём первую производную функции:

f'(x) = e^{-0{,}01x} + x(-0{,}01)e^{-0{,}01x} = e^{-0{,}01x}(1 - 0{,}01x)

Приравняем производную к нулю:

1 - 0{,}01x = 0 \implies x = 100

При

0 < x < 100

производная

f'(x) > 0

, функция возрастает.
При

x > 100

производная

f'(x) < 0

, функция убывает.
Следовательно, в точке

x = 100

функция достигает своего наибольшего значения:

\sup_{(0, +\infty)} f(x) = f(100) = 100e^{-1} = \frac{100}{e}

Так как

f(x) > 0

на интервале

(0, +\infty)

и пределы на концах интервала равны:

\lim_{x \to 0+} xe^{-0{,}01x} = 0

\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{0{,}01x}} = 0

то нижняя грань функции равна нулю (само значение не достигается):

\inf_{(0, +\infty)} f(x) = 0