Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1430

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти экстремумы функции:

Задача 1430

y=2x2−x4y=2x^2-x^4

Решение

Область определения функции x∈Rx \in \mathbb{R}.
Найдём первую производную
y′=4x−4x3=4x(1−x2)=4x(1−x)(1+x)y' = 4x - 4x^3 = 4x(1-x^2) = 4x(1-x)(1+x)Критические точки получаем из условия y′=0y' = 0x1=−1,x2=0,x3=1x_1 = -1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 1Определим знак производной на интервалах между критическими точками.
При x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1) производная y′>0y' > 0
При x∈(−1,0)x \in (-1, 0) производная y′<0y' < 0
При x∈(0,1)x \in (0, 1) производная y′>0y' > 0
При x∈(1,∞)x \in (1, \infty) производная y′<0y' < 0
Функция достигает максимума в точках x=−1x = -1 и x=1x = 1, так как производная меняет знак с плюса на минусymax⁡=y(−1)=y(1)=1y_{\max} = y(-1) = y(1) = 1В точке x=0x = 0 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимумаymin⁡=y(0)=0y_{\min} = y(0) = 0

Проверка



Максимумы y(±1)=1y(\pm1)=1 глобальные, поскольку y=1−(x2−1)2≤1y=1-(x^2-1)^2\le1. Минимум в нуле локальный: при ∣x∣→∞|x|\to\infty функция стремится к −∞-\infty.
Демидович № 1430 — решение | Высшая математика — Профиматика