Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1448

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

Задача 1448

f(x)=x+\frac1x

на сегменте

[0{,}01;100]

Решение

Функция непрерывна на заданном отрезке, поэтому по теореме Вейерштрасса имеет наименьшее и наибольшее значения. Они могут достигаться на концах отрезка или во внутренних точках, где производная равна нулю либо не существует.

Найдём первую производную функции:

f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}

Приравняем производную к нулю:

\frac{x^2-1}{x^2} = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1

Только точка

x = 1

принадлежит заданному сегменту

[0{,}01; 100]

. Вычислим значения функции в этой точке и на концах сегмента:

f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2

f(0{,}01) = 0{,}01 + \frac{1}{0{,}01} = 0{,}01 + 100 = 100{,}01

f(100) = 100 + \frac{1}{100} = 100 + 0{,}01 = 100{,}01

Сравнивая результаты, получаем:

\min_{[0{,}01; 100]} f(x) = f(1) = 2

\max_{[0{,}01; 100]} f(x) = f(0{,}01) = f(100) = 100{,}01