Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1422

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Исследовать на экстремум функцию:

Задача 1422

y=x^{\frac13}(1-x)^{\frac23}

Решение

Область определения функции

x \in \mathbb{R}

.
Найдём первую производную

y' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3}(1-x)^{-\frac{1}{3}} \cdot (-1)

Приведём выражение к общему знаменателю

y' = \frac{1-x-2x}{3\sqrt[3]{x^2(1-x)}} = \frac{1-3x}{3\sqrt[3]{x^2(1-x)}}

Критическая точка, где производная равна нулю:

x = \frac{1}{3}

.
Критические точки, где производная не существует:

x = 0

x = 1

.
Рассмотрим знаки производной на полученных интервалах:
При

x < 0

числитель

1-3x > 0

, знаменатель положителен, следовательно

y' > 0

При

0 < x < \frac{1}{3}

числитель

1-3x > 0

, знаменатель положителен, следовательно

y' > 0

При

\frac{1}{3} < x < 1

числитель

1-3x < 0

, знаменатель положителен, следовательно

y' < 0

При

x > 1

числитель

1-3x < 0

, знаменатель отрицателен (так как

1-x < 0

), следовательно

y' > 0

В точке

x = \frac{1}{3}

производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума

y_{\max} = y\left(\frac13\right)=\sqrt[3]{\frac13}\left(\sqrt[3]{\frac23}\right)^2=\sqrt[3]{\frac4{27}}=\frac{\sqrt[3]4}3

В точке

x = 1

производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума

y_{\min} = y(1) = 0

В точке

x = 0

знак производной не меняется, экстремума в этой точке нет.

Проверка

Функция непрерывна также при

x=0,1

, поэтому признак экстремума по знаку производной применим в этих точках, хотя сама производная там не существует. Найденные максимум и минимум являются локальными.