Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1422

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1422

y=x13(1−x)23y=x^{\frac13}(1-x)^{\frac23}

Решение

Идея

Область определения функции x∈Rx \in \mathbb{R}.
Найдём первую производнуюy′=13x−23(1−x)23+x13⋅23(1−x)−13⋅(−1)y' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3}(1-x)^{-\frac{1}{3}} \cdot (-1)Приведём выражение к общему знаменателюy′=1−x−2x3x2(1−x)3=1−3x3x2(1−x)3y' = \frac{1-x-2x}{3\sqrt[3]{x^2(1-x)}} = \frac{1-3x}{3\sqrt[3]{x^2(1-x)}}Критическая точка, где производная равна нулю: x=13x = \frac{1}{3}.
Критические точки, где производная не существует: x=0x = 0 и x=1x = 1.
Рассмотрим знаки производной на полученных интервалах:
При x<0x < 0 числитель 1−3x>01-3x > 0, знаменатель положителен, следовательно y′>0y' > 0
При 0<x<130 < x < \frac{1}{3} числитель 1−3x>01-3x > 0, знаменатель положителен, следовательно y′>0y' > 0
При 13<x<1\frac{1}{3} < x < 1 числитель 1−3x<01-3x < 0, знаменатель положителен, следовательно y′<0y' < 0
При x>1x > 1 числитель 1−3x<01-3x < 0, знаменатель отрицателен (так как 1−x<01-x < 0), следовательно y′>0y' > 0
В точке x=13x = \frac{1}{3} производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимумаymax⁡=y(13)=433y_{\max} = y\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\sqrt[3]{4}}{3}В точке x=1x = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимумаymin⁡=y(1)=0y_{\min} = y(1) = 0В точке x=0x = 0 знак производной не меняется, экстремума в этой точке нет.