Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1457

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1457

Определить «отклонение от нуля» многочлена

P(x)=x(x-1)^2(x+2)

на сегменте

[-2,1]

, т. е. найти

E_P=\sup_{-2\le x\le1}|P(x)|

Решение

Для непрерывного многочлена на отрезке наибольший модуль равен большему из модулей его наименьшего и наибольшего значений. Поэтому достаточно исследовать сам

P

, проверив его стационарные точки и концы отрезка. Раскроем скобки в заданном многочлене для удобства дифференцирования

P(x) = x(x^2 - 2x + 1)(x+2) = (x^3 - 2x^2 + x)(x+2) = x^4 + 2x^3 - 2x^3 - 4x^2 + x^2 + 2x = x^4 - 3x^2 + 2x

Найдём производную функции

P'(x) = 4x^3 - 6x + 2

Вынесем общий множитель и разложим на множители. Заметим, что

x=1

является корнем производной

P'(x) = 2(2x^3 - 3x + 1) = 2(x-1)(2x^2 + 2x - 1)

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю. Один корень

x_0 = 1

. Найдём остальные из квадратного уравнения

2x^2 + 2x - 1 = 0 \implies x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}

Оба корня лежат внутри сегмента

[-2, 1]

. Вычислим значения функции в критических точках, учитывая, что они удовлетворяют уравнению

x^2 = \frac{1}{2} - x

. Выразим

P(x)

линейно для этих корней

x^3 = x \cdot x^2 = x\left(\frac{1}{2}-x\right) = \frac{1}{2}x - x^2 = \frac{1}{2}x - \left(\frac{1}{2}-x\right) = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}

x^4 = x \cdot x^3 = x\left(\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}-x\right) - \frac{1}{2}x = \frac{3}{4} - 2x

Тогда значение

P(x)

в критических точках равно

P(x) = \left(\frac{3}{4} - 2x\right) - 3\left(\frac{1}{2}-x\right) + 2x = \frac{3}{4} - 2x - \frac{3}{2} + 3x + 2x = 3x - \frac{3}{4}

Вычислим значения в точках

x_1

x_2

P(x_1) = 3\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{3}{4} = \frac{-6-6\sqrt{3}}{4} - \frac{3}{4} = \frac{-9-6\sqrt{3}}{4}

P(x_2) = 3\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{3}{4} = \frac{-6+6\sqrt{3}}{4} - \frac{3}{4} = \frac{-9+6\sqrt{3}}{4}

Значения функции на концах отрезка равны нулю:

P(-2) = 0

P(1) = 0

.
Сравним модули значений в точках экстремумов

|P(x_1)| = \frac{9+6\sqrt{3}}{4}, \quad |P(x_2)| = \frac{6\sqrt{3}-9}{4}

Оба выписанных модуля положительны, поскольку

6\sqrt3>9

(после деления на

6

и возведения в квадрат:

3>9/4

). Их разность равна

18/4=9/2>0

, поэтому

|P(x_1)|>|P(x_2)|

. Таким образом, максимальное уклонение многочлена от нуля составляет

E_P = \frac{9+6\sqrt{3}}{4}