Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1435

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти экстремумы функции:

Задача 1435

y=2x−x2y=\sqrt{2x-x^2}

Решение

Область определения функции задаётся неравенством 2x−x2≥02x-x^2 \ge 0, откуда x∈[0,2]x \in [0, 2].
Найдём первую производную
y′=122x−x2⋅(2−2x)=1−x2x−x2y' = \frac{1}{2\sqrt{2x-x^2}} \cdot (2 - 2x) = \frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}Производная равна нулю в критической точкеx=1x = 1При x∈(0,1)x \in (0, 1) числитель положителен, производная y′>0y' > 0
При x∈(1,2)x \in (1, 2) числитель отрицателен, производная y′<0y' < 0
В точке x=1x = 1 производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка строгого локального максимумаymax⁡=y(1)=2−1=1y_{\max} = y(1) = \sqrt{2 - 1} = 1Наименьшее значение на всей области определения достигается на её концах (это граничные точки, а не внутренние локальные экстремумы)ymin⁡=y(0)=y(2)=0y_{\min} = y(0) = y(2) = 0
Демидович № 1435 — решение | Высшая математика — Профиматика