Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1446

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

f(x)=x^2-4x+6

на сегменте

[-3;10]

Решение

Найдём первую производную функции:

f'(x) = 2x - 4

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

2x - 4 = 0 \implies x = 2

Точка

x = 2

принадлежит заданному сегменту

[-3; 10]

. Вычислим значения функции в стационарной точке и на концах сегмента:

f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2

f(-3) = (-3)^2 - 4(-3) + 6 = 9 + 12 + 6 = 27

f(10) = 10^2 - 4 \cdot 10 + 6 = 100 - 40 + 6 = 66

Выбирая из этих значений наименьшее и наибольшее, получаем:

\min_{[-3; 10]} f(x) = f(2) = 2

\max_{[-3; 10]} f(x) = f(10) = 66