Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1446

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

Задача 1446

f(x)=x2−4x+6f(x)=x^2-4x+6на сегменте [−3;10][-3;10].

Решение

Функция непрерывна на заданном отрезке, поэтому по теореме Вейерштрасса имеет наименьшее и наибольшее значения. Они могут достигаться на концах отрезка или во внутренних точках, где производная равна нулю либо не существует.
Найдём первую производную функции:f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:2x−4=0  ⟹  x=22x - 4 = 0 \implies x = 2Точка x=2x = 2 принадлежит заданному сегменту [−3;10][-3; 10]. Вычислим значения функции в стационарной точке и на концах сегмента:f(2)=22−4⋅2+6=4−8+6=2f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2f(−3)=(−3)2−4(−3)+6=9+12+6=27f(-3) = (-3)^2 - 4(-3) + 6 = 9 + 12 + 6 = 27f(10)=102−4⋅10+6=100−40+6=66f(10) = 10^2 - 4 \cdot 10 + 6 = 100 - 40 + 6 = 66Выбирая из этих значений наименьшее и наибольшее, получаем:min⁡[−3;10]f(x)=f(2)=2\min_{[-3; 10]} f(x) = f(2) = 2max⁡[−3;10]f(x)=f(10)=66\max_{[-3; 10]} f(x) = f(10) = 66