Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1451

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) функции:

f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)e^{-x}

на интервале

(0,+\infty)

. Здесь

n

— натуральное число.

Решение

Найдём производную функции:

f'(x) = \left(1+x+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right)e^{-x} - \left(1+x+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)e^{-x} = -\frac{x^n}{n!}e^{-x}

Так как

x \in (0, +\infty)

, выражение

x^n > 0

e^{-x} > 0

. Следовательно,

f'(x) < 0

для всех

x > 0

.
Функция строго монотонно убывает на заданном интервале.
Верхняя грань равна пределу при подходе к исключённому левому концу интервала:

\sup_{(0, +\infty)} f(x) = \lim_{x \to 0+} f(x) = 1

Нижнюю грань находим из предела при

x\to+\infty

. Известно, что показательная функция растет быстрее любого многочлена:

\inf_{(0, +\infty)} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x+\dots+\frac{x^n}{n!}}{e^x} = 0

Проверка

Ни одна грань не достигается: при каждом

x>0

имеем

0<f(x)<1

. Нижнее неравенство следует из положительности всех слагаемых, верхнее — из строгого убывания и предела

f(x)\to1

при

x\to0+