Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1438

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти экстремумы функции:

y=\sqrt{x}\ln x

Решение

Область определения функции

x \in (0, +\infty)

.
Найдём первую производную

y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}

Критическая точка находится из условия

y' = 0

\ln x + 2 = 0 \implies \ln x = -2 \implies x = e^{-2}

Знаменатель

2\sqrt{x}

строго положителен в области определения.
При

0 < x < e^{-2}

числитель

\ln x + 2 < 0

, поэтому

y' < 0

При

x > e^{-2}

числитель

\ln x + 2 > 0

, поэтому

y' > 0

В точке

x = e^{-2}

производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума

y_{\min} = y(e^{-2}) = \sqrt{e^{-2}}\ln(e^{-2}) = e^{-1} \cdot (-2) = -\frac{2}{e}