Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1438

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1438

y=xln⁡xy=\sqrt{x}\ln x

Решение

Идея

Область определения функции x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
Найдём первую производную

Проверка

y′=12xln⁡x+x⋅1x=ln⁡x2x+1x=ln⁡x+22xy' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}Критическая точка находится из условия y′=0y' = 0ln⁡x+2=0  ⟹  ln⁡x=−2  ⟹  x=e−2\ln x + 2 = 0 \implies \ln x = -2 \implies x = e^{-2}Знаменатель 2x2\sqrt{x} строго положителен в области определения.
При 0<x<e−20 < x < e^{-2} числитель ln⁡x+2<0\ln x + 2 < 0, поэтому y′<0y' < 0
При x>e−2x > e^{-2} числитель ln⁡x+2>0\ln x + 2 > 0, поэтому y′>0y' > 0
В точке x=e−2x = e^{-2} производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимумаymin⁡=y(e−2)=e−2ln⁡(e−2)=e−1⋅(−2)=−2ey_{\min} = y(e^{-2}) = \sqrt{e^{-2}}\ln(e^{-2}) = e^{-1} \cdot (-2) = -\frac{2}{e}
Демидович № 1438 — решение