Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1444

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти экстремумы функции:

Задача 1444

y=∣x∣e−∣x−1∣y=|x|e^{-|x-1|}

Решение

Область определения функции x∈Rx \in \mathbb{R}.
Раскроем модули и запишем функцию кусочноy={−xex−1при x<0xex−1при 0≤x<1xe1−xпри x≥1y =
\begin{cases}
-xe^{x-1} & \text{при } x < 0 \\
xe^{x-1} & \text{при } 0 \le x < 1 \\
xe^{1-x} & \text{при } x \ge 1
\end{cases}Найдём производную для каждого интервала
При x<0x < 0y′=−ex−1−xex−1=−ex−1(1+x)y' = -e^{x-1} - xe^{x-1} = -e^{x-1}(1+x)При 0<x<10 < x < 1y′=ex−1+xex−1=ex−1(1+x)y' = e^{x-1} + xe^{x-1} = e^{x-1}(1+x)При x>1x > 1y′=e1−x−xe1−x=e1−x(1−x)y' = e^{1-x} - xe^{1-x} = e^{1-x}(1-x)Найдём критические точки, где производная равна нулю или не существует.
Из первого уравнения (при x<0x<0) получаем 1+x=0  ⟹  x=−11+x = 0 \implies x = -1.
Из второго уравнения (на интервале 0<x<10<x<1) корень x=−1x=-1 не попадает в рассматриваемый промежуток.
На интервале x>1x>1 уравнение 1−x=01-x=0 решений не имеет. Точку x=1x=1 проверяем отдельно как границу кусочных формул.
При x=0x=0 односторонние производные равны −e−1-e^{-1} и e−1e^{-1}; при x=1x=1 они равны 22 и 00. В обоих случаях они различны, поэтому двусторонней производной нет. Функция в обеих точках непрерывна.
Исследуем знаки производной на интервалах, на которые разбивается числовая прямая точками −1-1, 00, 11:
На интервале (−∞,−1)(-\infty, -1) имеем 1+x<01+x < 0, тогда y′=−ex−1(1+x)>0y' = -e^{x-1}(1+x) > 0
На интервале (−1,0)(-1, 0) имеем 1+x>01+x > 0, тогда y′=−ex−1(1+x)<0y' = -e^{x-1}(1+x) < 0
На интервале (0,1)(0, 1) имеем 1+x>01+x > 0, тогда y′=ex−1(1+x)>0y' = e^{x-1}(1+x) > 0
На интервале (1,∞)(1, \infty) имеем 1−x<01-x < 0, тогда y′=e1−x(1−x)<0y' = e^{1-x}(1-x) < 0

Проверка

В точке x=−1x = -1 производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимумаymax⁡=y(−1)=∣−1∣e−∣−1−1∣=e−2=1e2y_{\max} = y(-1) = |-1|e^{-|-1-1|} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}В точке x=0x = 0 производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимумаymin⁡=y(0)=0⋅e−∣0−1∣=0y_{\min} = y(0) = 0 \cdot e^{-|0-1|} = 0В точке x=1x = 1 производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимумаymax⁡=y(1)=∣1∣e−∣1−1∣=e0=1y_{\max} = y(1) = |1|e^{-|1-1|} = e^0 = 1 Минимум 00 и максимум 11 являются наименьшим и наибольшим значениями на всей прямой. Максимум e−2e^{-2} при x=−1x=-1 только локальный.
Демидович № 1444 — решение | Высшая математика — Профиматика