Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1424

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \qquad f'(x)=\frac{P_1(x)}{Q^2(x)}

x_0

— стационарная точка функции

f(x)

, т. е.

P_1(x_0)=0

Q(x_0)\ne0

. Доказать, что

\operatorname{sgn}f''(x_0)=\operatorname{sgn}P_1'(x_0)

Доказательство

Идея

Найдём вторую производную функции

f(x)

, продифференцировав

f'(x)

как частное

Проверка

f''(x) = \left( \frac{P_1(x)}{Q^2(x)} \right)' = \frac{P_1'(x)Q^2(x) - P_1(x) \cdot 2Q(x)Q'(x)}{Q^4(x)}

Вычислим значение второй производной в стационарной точке

x_0

. По условию

P_1(x_0)=0

, поэтому второе слагаемое в числителе обращается в нуль

f''(x_0) = \frac{P_1'(x_0)Q^2(x_0) - 0}{Q^4(x_0)} = \frac{P_1'(x_0)}{Q^2(x_0)}

По условию

Q(x_0) \ne 0

, следовательно,

Q^2(x_0) > 0

. Положительный знаменатель не влияет на знак дроби. Отсюда следует, что знак

f''(x_0)

полностью определяется знаком

P_1'(x_0)

\operatorname{sgn}f''(x_0) = \operatorname{sgn}P_1'(x_0)

Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать