Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1431

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти экстремумы функции:

Задача 1431

y=x(x−1)2(x−2)3y=x(x-1)^2(x-2)^3

Решение

Область определения функции x∈Rx \in \mathbb{R}.
Найдём производную, применяя правило дифференцирования произведения
y′=(x−1)2(x−2)3+x⋅2(x−1)(x−2)3+x(x−1)2⋅3(x−2)2y' = (x-1)^2(x-2)^3 + x \cdot 2(x-1)(x-2)^3 + x(x-1)^2 \cdot 3(x-2)^2Вынесем общий множитель (x−1)(x−2)2(x-1)(x-2)^2 за скобкиy′=(x−1)(x−2)2[(x−1)(x−2)+2x(x−2)+3x(x−1)]y' = (x-1)(x-2)^2 \left[ (x-1)(x-2) + 2x(x-2) + 3x(x-1) \right]Раскроем скобки внутри квадратных скобок и приведём подобные слагаемыеy′=(x−1)(x−2)2(x2−3x+2+2x2−4x+3x2−3x)y' = (x-1)(x-2)^2 \left( x^2 - 3x + 2 + 2x^2 - 4x + 3x^2 - 3x \right)y′=2(x−1)(x−2)2(3x2−5x+1)y' = 2(x-1)(x-2)^2(3x^2 - 5x + 1)Найдём критические точки, приравняв производную к нулюx1=5−136,x2=1,x3=5+136,x4=2x_1 = \frac{5 - \sqrt{13}}{6}, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = \frac{5 + \sqrt{13}}{6}, \quad x_4 = 2Исследуем смену знака производной при переходе через критические точки. Множитель (x−2)2≥0(x-2)^2 \ge 0 не влияет на смену знака, поэтому в точке x4=2x_4=2 экстремума нет.
Квадратный трёхчлен 3x2−5x+13x^2-5x+1 меняет знак в точках x1x_1 и x3x_3.
На интервале (−∞,x1)(-\infty, x_1) производная y′<0y' < 0
На интервале (x1,1)(x_1, 1) производная y′>0y' > 0
На интервале (1,x3)(1, x_3) производная y′<0y' < 0
На интервале (x3,2)(x_3, 2) производная y′>0y' > 0
На интервале (2,∞)(2, \infty) производная y′>0y' > 0
В точке x=1x = 1 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому это точка максимумаymax⁡=y(1)=0y_{\max} = y(1) = 0В точках x1x_1 и x3x_3 производная меняет знак с минуса на плюс, это точки минимумаxmin⁡=5±136x_{\min} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}

Проверка

Вычислим значения в двух точках минимума без громоздкого раскрытия шестой степени. Для любой из них r=(5±13)/6r=(5\pm\sqrt{13})/6 выполняется 3r2−5r+1=03r^2-5r+1=0, то есть r2=(5r−1)/3r^2=(5r-1)/3. Поэтому(r−1)2=2−r3,r3=22r−59,(r-1)^2=\frac{2-r}3,\qquad
r^3=\frac{22r-5}9,(r−2)3=r3−6r2+12r−8=22r−59−2(5r−1)+12r−8=40r−599.(r-2)^3=r^3-6r^2+12r-8
=\frac{22r-5}9-2(5r-1)+12r-8=\frac{40r-59}9.Отсюда, используя r(2−r)=(r+1)/3r(2-r)=(r+1)/3,y(r)=r(2−r)(40r−59)27=40r2−19r−5981=143r−217243=−587±143131458.y(r)=\frac{r(2-r)(40r-59)}{27}
=\frac{40r^2-19r-59}{81}
=\frac{143r-217}{243}
=\frac{-587\pm143\sqrt{13}}{1458}.Знаки в координатах согласованы. Максимум при x=1x=1 локальный. Точка с меньшей абсциссой даёт и глобальный минимум: её значение меньше второго минимума, а при x→±∞x\to\pm\infty многочлен стремится к +∞+\infty.
Демидович № 1431 — решение | Высшая математика — Профиматика