Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1426

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1426

Доказать, что функция

f(x)=e^{-\frac1{x^2}}\quad x\ne0\qquadf(0)=0

имеет в точке

x=0

минимум, а функция

g(x)=xe^{-\frac1{x^2}}\quad x\ne0\qquadg(0)=0

не имеет в точке

x=0

экстремума, хотя

f^{(n)}(0)=0\qquadg^{(n)}(0)=0\quad n=1,2,\ldots

Построить графики этих функций.

ПостроениеФункция

f

имеет в точке

x=0

строгий глобальный минимум,
равный нулю. Функция

g

не имеет в этой точке экстремума. При этом для
каждого

n=1,2,\ldots

\begin{aligned}f^{(n)}(0)&=0\\g^{(n)}(0)&=0\end{aligned}

Построение

Идея

При

x\ne0

имеем

e^{-\frac1{x^2}}>0

При этом

f(0)=0

. Следовательно, в точке

x=0

функция

f

имеет строгий глобальный
минимум, равный нулю.

1
Для функции $g$ знак совпадает со знаком аргумента: $g(x)<0\quad x<0$ $g(x)>0\quad x>0$ В каждой окрестности нуля имеются как отрицательные, так и положительные
значения $g(x)$ . Поэтому $g(0)=0$ не является ни минимумом, ни максимумом.
2
Докажем теперь утверждение о производных. Для любого $q\geqslant0$ $\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{|x|^q}&=\lim_{s\to+\infty}s^{\frac q2}e^{-s}=0\end{aligned}$ Здесь выполнена замена $s=\dfrac1{x^2}$ . Экспонента стремится к нулю
быстрее любой положительной степени $|x|$ .
3
Покажем по индукции, что при $x\ne0$ $f^{(n)}(x)=P_n\!\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}$ где $P_n$ — некоторый многочлен, и одновременно $f^{(n)}(0)=0$ Для $n=0$ можно взять $P_0(z)=1$ ; кроме того, по условию
$f^{(0)}(0)=0$ . Если утверждение верно для номера $n$ ,
то при $x\ne0$ $\begin{aligned}f^{(n+1)}(x)&=-\frac1{x^2}P_n'\!\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}+\frac2{x^3}P_n\!\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}=\\&=P_{n+1}\!\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}\end{aligned}$ где $P_{n+1}(z)=-z^2P_n'(z)+2z^3P_n(z)$ Следовательно, $P_{n+1}$ также является многочленом. По определению
производной и вспомогательному пределу $\begin{aligned}f^{(n+1)}(0)&=\lim_{h\to0}\frac{f^{(n)}(h)-f^{(n)}(0)}{h}=\\&=\lim_{h\to0}\frac1hP_n\!\left(\frac1h\right)e^{-\frac1{h^2}}=0\end{aligned}$ Действительно, выражение перед экспонентой является конечной суммой
степеней $\dfrac1h$ , а каждое слагаемое стремится к нулю по доказанному
пределу. Индукция завершена, поэтому $f^{(n)}(0)=0\qquad n=1,2,\ldots$
4
Функцию $g$ можно записать в виде $g(x)=xf(x)$ Так как $f$ бесконечно дифференцируема, по формуле Лейбница для каждого
$n\geqslant1$ $g^{(n)}(x)=xf^{(n)}(x)+nf^{(n-1)}(x)$ В точке $x=0$ получаем $\begin{aligned}g^{(n)}(0)&=0\cdot f^{(n)}(0)+nf^{(n-1)}(0)=0\end{aligned}$ Таким образом, равенство нулю всех производных само по себе не определяет
наличие экстремума.
5
Для построения первого графика заметим, что функция $f$ чётная и $f'(x)=\frac2{x^3}e^{-\frac1{x^2}}\qquad x\ne0$ Она убывает на $(-\infty,0)$ , возрастает на $(0,+\infty)$ и имеет
предел $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1$ Поэтому прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.
6
Функция $g$ нечётная. При $x\ne0$ $\begin{aligned}g'(x)&=e^{-\frac1{x^2}}+\frac2{x^2}e^{-\frac1{x^2}}=\\&=e^{-\frac1{x^2}}\left(1+\frac2{x^2}\right)>0\end{aligned}$ Поэтому $g$ строго возрастает на всей прямой. Кроме того, $\begin{aligned}\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(g(x)-x\bigr)&=\lim_{x\to\pm\infty}x\left(e^{-\frac1{x^2}}-1\right)=0\end{aligned}$ и прямая $y=x$ является наклонной асимптотой. В начале координат обе
функции имеют горизонтальную касательную $y=0$ .
7
Построение графика
На первом рисунке показан строгий минимум функции
$f$ в точке $(0,0)$ и горизонтальная асимптота $y=1$ . На втором рисунке
нечётная функция $g$ проходит через начало координат, принимая слева от
нуля отрицательные, а справа положительные значения. Пунктиром показана
её наклонная асимптота $y=x$ . Около нуля обе кривые визуально сливаются
со своими горизонтальными касательными из-за быстрого убывания
экспоненциального множителя. $график к задаче Демидовича № 1426$ $график к задаче Демидовича № 1426$

Проверка

Ответ. Функция

f

имеет в точке

x=0

строгий глобальный минимум,
равный нулю. Функция

g

не имеет в этой точке экстремума. При этом для
каждого

n=1,2,\ldots

\begin{aligned}f^{(n)}(0)&=0\\g^{(n)}(0)&=0\end{aligned}