Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1449

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1449

f(x)=5−4xf(x)=\sqrt{5-4x}на сегменте [−1;1][-1;1].

Решение

Проверка

Найдём первую производную функции:f′(x)=125−4x⋅(−4)=−25−4xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5-4x}} \cdot (-4) = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}На заданном сегменте [−1;1][-1; 1] подкоренное выражение 5−4x>05 - 4x > 0. Производная f′(x)<0f'(x) < 0 для всех xx из этого сегмента, следовательно, функция строго монотонно убывает.
Своё наибольшее значение она принимает на левом конце сегмента, а наименьшее — на правом:max⁡[−1;1]f(x)=f(−1)=5−4(−1)=9=3\max_{[-1; 1]} f(x) = f(-1) = \sqrt{5 - 4(-1)} = \sqrt{9} = 3min⁡[−1;1]f(x)=f(1)=5−4⋅1=1=1\min_{[-1; 1]} f(x) = f(1) = \sqrt{5 - 4 \cdot 1} = \sqrt{1} = 1
Демидович № 1449 — решение